les calculs en géometrie



Ce théorème concerne les situations où deux droites sécantes (d1 et d2) sont coupées par deux droites parallèles (d3 et d4). Il y a deux cas de figure :
  • le point d’intersection de d1 et d2 est à l’extérieur de d3 et d4


  • le point d’intersection de d1 et d2 est entre d3 et d4

Un même énoncé convient aux deux cas de figure :

« Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les longueurs des côtés des deux triangles formés sont proportionelles. »

Cette proportionnalité est en général traduite par une égalité de quotients :
Si (DE)//(AC), alors = =



Les élèves ont tendance à oublier qu’il s’agit de proportionnalité et à mélanger les longueurs en écrivant les égalités de quotients.

Il faut insister sur le fait que chaque ligne comporte les trois côtés d’un triangle et commencer par nommer ces triangles. On diminue aussi le risque d’erreur en commençant systématiquement dans les deux premiers quotients par le sommet commun aux deux triangles.

= = =

Les longueurs AD et CE n’interviennent pas : ce ne sont pas les côtés d’un triangle de la figure.

Ce théorème permet de calculer une longueur si on en connaît trois autres :
  • si on connaît AB = 5, BD = 2 et DE = 3, on peut écrire :
    =
    On utilise alors la technique du produit en croix pour obtenir :
    5 × 3 = 2 × AC
    puis :
    AC =
    AC = 7,5

On écrit l’égalité de trois quotients mais on n’en utilise que deux à la fois.

  • Si on connaît AB = 5, BD = 2 et BC = 6 et qu’on veut EC, il faut d’abord calculer BE :
    = d’où BE = = 2,4
    EC = BC – BE = 6 – 2,4

    EC = 3,6
On aborde également la propriété réciproque qui permet de prouver que deux droites sont parallèles.

La propriété s’énonce de la même manière dans les deux cas :



« Si = , alors (DE)//(AC). »

Si l’on veut être tout à fait rigoureux, il faut préciser l’ordre dans lequel les points A, B, D d’une part et C, B, E d’autre part sont alignés : soit le sommet commun aux deux triangles, B, est à l’extérieur des deux segments [AD] et [CE], soit il est à l’intérieur des deux.

On pourrait sinon avoir la configuration suivante :

= = 2 mais il n’y a évidemment pas de parallèles.

Il faut faire attention à la manière de rédiger ce raisonnement : on ne sait pas a priori si les deux quotients sont égaux, il faut donc les calculer séparément.



« Dans la figure ci-dessus, AD = 7, BD = 2, EB = 3, BC = 7,5.
Prouver que les droites (AC) et (BD) sont parallèles. »


Il faut d’abord identifier les longueurs qui nous intéressent : ce sont celles des quatre segments issus du sommet commun B.
On en connaît trois, il faut calculer la quatrième :
BA = AD – BD = 7 – 2 = 5
On calcule ensuite les deux quotients :
= = 2,5 = = 2,5
On constate qu’ils sont égaux.

On peut ensuite rédiger le raisonnement :

« On sait que A, B, D sont alignés dans cet ordre et C, B, E sont alignés dans cet ordre. On sait aussi que = .
Donc les droites (AC) et (BD) sont parallèles. »




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