les calculs en géometrie



Le mot trigonométrie signifie en grec « mesure des triangles ».

Dans un triangle rectangle, la trigonométrie donne des relations entre les longueurs des côtés et les mesures des angles aigus.

Le principe
Si deux triangles rectangles ont un angle aigu de même mesure, on peut les « :emboîter » :

On reconnaît alors la situation du théorème de Thalès car (AC) et (DE) sont parallèles.

On peut donc en conclure que les dimensions du petit triangle DEF sont proportionnelles à celles du grand triangle CAB.
Cette proportionnalité peut se traduire de diverses manières, dont celle-ci : =

[BC] et [DF] sont les hypoténuses des deux triangles (les côtés opposés à l'angle droit)
[BE] et [BA] s'appellent côté adjacent à l'angle rouge.

Conclusion : le quotient ne dépend que de la mesure de l'angle aigu.

Ce nombre s'appelle le cosinus de l'angle.

On définit de même le sinus et la tangente de l'angle. On a donc trois formules :

sinus de l'angle =
cosinus de l'angle =
tangente de l'angle =



Pour éviter de mélanger ces trois formules, on utilise souvent une « formule magique » :

Sinus =
Opposé sur
Hypoténuse
Cosinus =
Adjacent sur
Hypoténuse
Tangente =
Opposé sur
Adjacent

donne la formule :

S O H C A H T O A


On définit ainsi les fonctions trigonométriques : sinus, cosinus, tangente.

Il y a ici une difficulté majeure : on utilise des fonctions sans le dire car les élèves n'ont pas encore étudié cette notion.


Ainsi le cosinus de 70° s'écrira selon les ouvrages cos(70°) ou cos(70) ou cos70 sans que soit précisé ce que recouvre le symbole « cos » ou la signification des parenthèses.
On dit seulement aux élèves que le calcul se fait en tapant la touche correspondante de la calculette (sin, cos ou tan) puis la mesure de l'angle.
Ce flou est une source d'erreurs importante dans les problèmes.

Les problèmes
Ces relations permettent de calculer dans un triangle rectangle :
  • la longueur d'un côté du triangle si on connaît un angle aigu et une autre longueur.
  • la mesure d'un angle aigu si on connaît les longueurs de deux côtés du triangle.

Dans tous les cas la démarche est la même :
  1. on identifie le triangle rectangle dans lequel on travaille
  2. on identifie l'angle concerné et les deux côtés qui nous intéressent (connus ou à trouver)
  3. on écrit la formule correspondante.
  4. on calcule.

Problème 1

« Une échelle de 3 m de long doit être posée contre un mur en faisant un angle de 70° avec le sol. A quelle distance du mur doit être le pied de l'échelle ? »
  • on identifie le triangle rectangle dans lequel on travaille :
    le mur et le sol forment un angle droit. On nomme les points et on obtient le triangle ABC rectangle en B.

  • on identifie l'angle concerné et les deux côtés qui nous intéressent :
    l'angle connu est , les côtés [AC] (qu'on connaît) et [AB] (qu'on cherche).

  • on écrit la formule correspondante :
    [AC] est l'hypoténuse, [AB] est le côté adjacent à l'angle .
    On utilise donc la formule du cosinus :
    cosinus de =
  • on calcule :
    en remplaçant les valeurs connues, on obtient
    cos(70°) = d'où
    AB = 3 × cos(70°)
    AB ≈ 1,03
Le pied de l'échelle doit être à 1,03 m du mur.


Cette dernière étape recèle de multiples pièges :

  • l'élève peut chercher à calculer avec le nombre 70 et sans savoir quoi faire du « cos » (d'autant plus si la notation utilisée est cos70 qui ressemble à une multiplication). Cela peut amener des réponses du genre AB = 3 × 70.

Le plus simple est de calculer d'abord cos(70°) avec la calculette (environ 0,34). On écrit alors 0,34 ≈ d'où AB ≈ 3 × 0,34 ≈ 1,02.

  • la calculette doit bien être réglée en degrés sous peine de résultat farfelu.

  • il faut savoir manipuler les égalités du genre a = .


Pour cela, on peut faire l’analogie avec une division simple :

3 =  donne
  • 2 =
  • 3 × 2 = 6


Une autre technique utilise le produit en croix :

cos(70°) = peut aussi s'écrire
= et donc
3 × cos(70°) = 1 × AB = AB

Problème 2

« Une échelle de 3 m de long est posée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 0,90m du mur. Quel est l'angle entre l'échelle et le sol ? »
  • on identifie le triangle rectangle dans lequel on travaille :
    le mur et le sol forment un angle droit. On nomme les points et on obtient le triangle ABC rectangle en B.

  • on identifie l'angle concerné et les deux côtés qui nous intéressent :
    l'angle cherché est , les côtés connus [AC] et [AB] .

  • on écrit la formule correspondante :
    [AC] est l'hypoténuse, [AB] est le côté adjacent à l'angle .
    On utilise donc la formule du cosinus :
    cosinus de =
  • on calcule :
    en remplaçant les valeurs connues, on obtient
    cos() = d'où
    cos() = 0,3
    On tape sur la calculette : 2de ou shift, puis cos, puis 0,3
    On obtient comme résultat 72,5423...
L'angle entre l'échelle et le sol est d'environ 72,5°.

Là encore la méconnaissance de la nature du symbole « cos » conduit à des erreurs comme le calcul de cos(0,3).


On peut faire l'analogie avec la racine carrée : on cherche un angle dont on connaît le cosinus, comme la racine carrée permet de trouver un nombre dont on connaît le carré.





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