les calculs en géometrie



Le principe
Les outils dont on dispose pour calculer des longueurs concernent la géométrie dans un plan : Lorsqu'on veut calculer une longueur dans un solide de l'espace, il faut se ramener à un calcul dans un plan bien choisi contenant cette longueur.

Exemple dans une pyramide
« On veut réaliser un tipi qui aura la forme d’une pyramide ayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [SH].
Le tipi aura les dimensions suivantes :
AD = 1,60 m, CD = 1,20 m et SH = 2,40 m.
Calculer BD puis SD. »


Calcul de BD :
  • on identifie le plan dans lequel on va travailler :
    on connaît les longueurs AD et CD, donc le plan de la base de la pyramide semblle approprié.
  • on fait une figure de ABCD dans ce plan :
    le triangle ABD est rectangle en A et AB = CD. On utilise le théorème de Pythagore et on obtient :
    BD² = 1,60² + 1,20²
    d'où
    BD = 2 m.





Calcul de SD :
  • on identifie le plan dans lequel on va travailler :
    il est probable que la hauteur de la pyramide intervienne, on cherche donc un plan qui contienne à la fois [SD] et [SH].
  • on fait une figure de SBHD dans ce plan :
    le triangle SHD est rectangle en H et DH est la moitié de BD. On utilise le théorème de Pythagore et on obtient :
    SD² = 2,40² + 1²
    d'où
    SD = 2,60 m.

« On ajoute à l’armature une baguette [EF] comme indiqué sur le dessin de sorte que (EF) / (AD) et SF = 1,95 m.
Calculer EF. »


Calcul de EF :
  • on identifie le plan dans lequel on va travailler :
    l'indication concernant le parallélisme de (EF) et (AD) incite à choisir la face ASD de la pyramide.
  • on fait une figure de ASD :
    du fait du parallélisme on peut utiliser le théorème de Thalès et on obtient :
    =
    d'où
    EF = 1,20 m.

Exemple dans une sphère
« On coupe une sphère de rayon 3 cm par un plan situé à 2 cm du centre. Quel est le rayon du cercle obtenu ? »

ST = 2 cm
  • on identifie le plan dans lequel on va travailler :
    on choisit un plan contenant [ST] et on fait une figure dans ce plan.

    On connaît
    ST = 2 cm et
    TZ = 3 cm
    et on cherche SV.

  • [SV] étant perpendiculaire à [ST], on peut avoir l'idée d'utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle SVT :
    TV² = SV² + ST²

    [TV] et [TZ] sont deux rayons du cercle donc ils ont la même longueur, 3 cm.

    3² = SV² + 2²
    d'où
    SV = .







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