le calcul littéral




Pour bien comprendre les écritures littérales, il faut commencer par les manipuler en relation avec des problèmes. Cela peut se faire dès la classe de cinquième.
Produire une écriture littérale
  • Pour résoudre un problème complexe, on est amené à donner un nom aux grandeurs que l’on cherche et à écrire des calculs qui font intervenir ces grandeurs :

    « Gabriel a un jeu de cubes de deux dimensions : 3 cm et 5 cm. Il les empile pour former la colonne la plus haute possible. Il a réussi à en empiler 42 et sa pile mesure 157 cm. Combien a-t-il utilisé de cubes de chaque sorte ? »

    Si x désigne le nombre de cubes de 3 cm et y le nombre de cubes de 5 cm, la hauteur de la pile (en cm) est égale à :
    (x × 3) + (y × 5)

    (la version complète du problème est ici.)

Il est souvent plus facile de commencer par écrire le calcul avec des nombres, en donnant une valeur aux variables : « si Gabriel a empilé 7 cubes de 3 cm et 4 cubes de 5 cm, quelle sera la hauteur de la pile ? » La réponse est : (7 × 3) + (4 × 5). Il suffit ensuite de remplacer 7 et 4 par x et y.

  • On peut aussi écrire une formule de calcul faisant intervenir une grandeur variable :

    x désigne un nombre compris entre 0 et 2,5.
    Si on découpe aux quatres coins d’un carré de côté 5 cm un carré de côté x cm, quelle formule donne l’aire de la partie restante ?
    • aire du grand carré : 5 × 5 = 25
    • aire d’un petit carré : x × x = x² (x au carré)
    • on soustrait les aires des 4 petits carrés de l’aire du grand carré (en cm²) :
      l'aire est égale à 25 – (4 × x ²)

    On dit qu’on a exprimé l’aire en fonction de x.


L’expression mathématique correspond à une phrase dont les opérations sont les verbes :

« Au carré de 25 cm², on enlève 4 coins qui mesurent chacun x² cm² »

25(4× x ²)

De même que dans la phrase il y a une proposition principale, il y a dans le calcul une opération principale, ici la soustraction. Ce sont les parenthèses qui, en ponctuant la phrase, indiquent quelle est l’opération principale.

Cette dénomination n’a rien d’officiel, mais elle permet de bien comprendre comment est organisé le calcul.
Utiliser une écriture littérale
Une formule de calcul étant donnée, on donne une valeur aux nombres désignés par des lettres et on effectue le calcul :


x désigne un nombre positif (en cm).

L’aire de ce trapèze est : x × (x + 4) : 2

Si x vaut 3,6, l’aire sera (en cm²) : 3,6 × (3,6 + 4) : 2 = 13,68

Si la même lettre est utilisée plusieurs fois dans un calcul, elle représente toujours le même nombre. On la remplacera donc autant de fois qu’elle apparaît.





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