le calcul littéral




Les conventions d'écritures
en cinquième
Certains signes ne sont plus écrits dans les calculs :
  • les parenthèses autour des multiplications et des divisions (règles de priorité)

  • le signe « multiplié par » lorsqu’il concerne une lettre ou un calcul entre parenthèses :

    • 3 × (x – 5)s’écrira3(x – 5)
    • 5 × x et x × 5s’écriront5x
    • x × y s’écriraxy
    • (x + 2) × (x – 5)s’écrira(x + 2)(x – 5)

    Ainsi le calcul (5 × x) + (3 × y) deviendra 5x + 3y.


Le risque est d’oublier la signification de telles écritures.

Une erreur fréquente consiste à écrire par exemple : 4 + 5x = 9x

Le calcul a été effectué de gauche à droite sans tenir compte des priorités des opérations.


On peut demander à l’élève de lire le calcul en nommant les opérations « cachées » et en ponctuant la phrase.

4 + 5x se lira alors :
« quatre, plus, cinq multiplié par x »
et non :
« quatre plus cinq, multiplié par x ».
  • multiplier un nombre par 1 ne modifie pas sa valeur, donc
    • 1 × xs’écrirax

  • on utilise une nouvelle écriture lorsqu’on multiplie un nombre par lui-même :
    • x × x = x2qui se lit « x au carré »
    • x × x × x = x3qui se lit « x au cube »
en quatrième
Une nouvelle convention de priorité apparaît avec les exposants :
3x² doit être compris comme 3 × x² et non comme (3x)².
Sommes et parenthèses
en quatrième
Dans un calcul numérique, on effectue d’abord les additions et les soustractions entre parenthèses. Mais dans un calcul littéral, on ne peut pas toujours effectuer ces calculs. On cherche alors à transformer l’expression pour obtenir une écriture sans parenthèses et pouvoir ensuite la réduire (voir ci-dessous).
  • si l'opération principale est une addition, les parenthèses sont inutiles :

    Si on réunit (addition) le contenu de deux porte-monnaie, on ajoute les valeurs de toutes les pièces.
    On se contente donc de supprimer les parenthèses autour des additions ou des soustractions :
    (4x – 2) + (5x + 1) = 4x – 2 + 5x + 1

    Il faudra parfois en remettre autour d’un terme pour éviter des télescopages de signes :
    (4x – 2) + (-5x + 1) = 4x – 2 + (-5x) + 1

  • si l'opération principale est une soustraction, c’est plus compliqué.
    J’ai quatre pièces, j’en enlève (soustraction) une poignée :

    Si je veux obtenir le même résultat en traitant les pièces une par une et non plus en bloc, il faudra enlever une pièce de 20 centimes puis enlever la pièce de 10 centimes :


    autrement dit :
    La suppression des parenthèses s’accompagne d’une modification des opérations :

    (4x – 2) – (5x + 1) = 4x – 2 5x 1

    L’interprétation est plus difficile lorsqu’il y a une soustraction dans la parenthèse que l’on soustrait :
    (4x – 2) – (5x 1) = 4x – 2 5x + 1

    Cette technique est à relier à la soustraction des nombres relatifs :
    5x – 1 = 5x + (-1)
    donc
    (4x – 2) – (5x – 1) = (4x – 2) – (5x + (-1))
    = 4x – 2 – 5x – (-1)
    = 4x – 2 – 5x +1

    Souvent, on n'explicite pas la première étape de ce raisonnement : le signe « moins » de la soustraction est lu directement comme le signe « moins » du nombre (-1).
La règle est difficile à énoncer de manière simple. La formulation la plus couramment mémorisée par les élèves : « on supprime les parenthèses et on change les signes » prête souvent à confusion.

On voit en particulier des erreurs du genre :
(4x – 2) – (5x – 1) = 4x + 2 – 5x + 1
(changement de signe dans la première parenthèse)

C’est la parenthèse que l’on soustrait qui pose problème. L’autre n’a pas d’influence sur le calcul.


ou des erreurs du genre :
(4x – 2) – (5x – 1) = 4x – 2 + 5x + 1
(l’élève a vu un – devant le 5 et l’a donc changé en +)

On change les signes + et – qui sont à l’intérieur de la parenthèse. L’absence de signe devant le 5 correspond à un + : on aurait aussi bien pu écrire (-1 + 5x) au lieu de (5x – 1).

La distributivité
en cinquième
Cette propriété des opérations +, – et × est à la base de beaucoup de transformations d’écritures littérales.

On écrit la propriété :

k(a + b) = ka + kb k(a + b) = ka + kb

On a « distribué » la multiplication par k au a et au b.


Les égalités se lisent aussi bien de gauche à droite (on développe) que de droite à gauche (on factorise).


Mais dans la pratique, on privilégie un sens de lecture selon la situation :
  • on développera plus souvent 3(x - 5) = (3 × x) – (3 × 5) = 3x - 15
  • on factorisera (3 × x) + (5 × x) = (3 + 5) × x
    soit 3x + 5x = 8x
Développer un produit
On part d’une expression où l’opération principale est une multiplication et on la transforme en une expression où la ou les opérations principales sont des additions ou des soustractions.

en cinquième
3 × (4x + 2) = (3 × 4x) + (3 × 2)
(addition dans la parenthèse → addition des deux produits)

5x × (2x – 3) = (5x × 2x) (5x) × 3
(soustraction dans la parenthèse → soustraction des deux produits)

en quatrième
On utilise la double distributivité :

Cette égalité s’utilise uniquement de gauche à droite (développement).

En général, les élèves retiennent bien qu’on multiplie chaque terme de la première somme par chaque terme de la deuxième somme. Les erreurs viennent plus souvent des opérations à utiliser entre ces produits.


On peut illustrer cette formule avec des aires de rectangles :


L’aire du grand rectangle est égale à (a + b) × (c + d), mais aussi à la somme des aires des quatre petits rectangles. On écrira donc en développant une somme de quatre produits.


Une fois le mécanisme de base acquis, il reste une difficulté supplémentaire avec les signes :

(4x + 2) × (5x – 3) = (4x × 5x) (4x × 3) + (2 × 5x) (2 × 3)

La soustraction du 3 dans la deuxième parenthèse a conduit à soustraire les termes (4x × 3) et (2 × 3), comme avec la distributivité simple.

De même pour développer (4x – 2)(5x – 3), on commence par écrire
(4x × 5x) – (4× x 3) – (2 × 5x) mais que fait-on du terme (2 × 3) ?

Plusieurs démarches sont possibles, il vaut mieux laisser l’enfant choisir celle qui lui réussit plutôt que d’en imposer une.

  • méthode 1 : on n’écrit que des additions dans l’expression de départ :

    (4x – 2)(5x – 3) = (4x + (-2))(5x + (-3))
    = (4x × 5x) + (4x × (-3)) + ((-2) × 5x) + ((-2) × (-3))

  • méthode 2 : on écrit une soustraction (celle de la première parenthèse) et le signe « moins » de la deuxième parenthèse transforme le 3 en (-3) :

    (4x 2)(5x – 3) = (4x × 5x) + (4x × (-3)) (2 × 5x) (2 × (- 3))

  • méthode 3 : on applique directement la « règle des signes » : « moins multiplié par moins égale plus » :

    (4x 2)(5x 3) = (4x × 5x) – (4x × 3) – (2 × 5x) + (2 × 3)

Dans les deux derniers cas, on est amené à assimiler le signe « moins » de la soustraction et le signe « moins » d’un nombre (voir ici).


Factoriser une somme ou une différence
en cinquième
On utilise la propriété de distributivité de la gauche vers la droite : on part d’une expression où l’opération principale est une addition ou une soustraction et on la transforme en une expression où l’opération principale est une multiplication.
Ceci est possible si l’opération principale porte sur deux produits qui comportent un facteur commun :
  • (3 × x) + (5 × x) = (3 + 5) × x
En utilisant l'écriture simplifiée 3x + 5x = 8x, on oublie souvent qu'il s'agit d'une factorisation. Cela peut amener des erreurs du genre 3x + 5x = 8x2.


Il faut revenir à la signification du calcul : 3 fois un nombre plus 5 fois le même nombre, ça donne 8 fois ce nombre.

  • (3 × x) (3 × y) = 3 × (xy)
Si la « mise en commun » du facteur 3 × se fait en général assez facilerment, les élèves ont parfois du mal à savoir quoi faire des autres facteurs.


En revenant à la formule de la distributivité, on met en évidence la persistance de l'addition ou de la soustraction.

(3 × x) (3 × y) = 3 × (x y)

en quatrième


Il arrive qu’une multiplication soit « cachée ».


Il faut systématiquement identifier le facteur commun et les deux multiplications.

  • on veut factoriser 5x – 8x²
    pour identifier le facteur commun, x, il faut se rappeler que x² = x × x.
    On peut alors écrire :
    5x – 8x² = (5 × x) – (8x × x)
    5x – 8x² = (5 – 8x)x

  • on veut factoriser 7x – 7
    on voit bien une multiplication dans le premier terme mais pas dans le deuxième. Il faut donc « l’inventer » en écrivant une multiplication par 1 :
    7x – 7 = (7 × x) – (7 × 1)
    7x – 7 = 7(x – 1)

en troisième
Les expressions utilisées sont plus complexes qu’en quatrième. Il faut analyser soigneusement le calcul :

On veut factoriser 5(3x + 2) – (x – 5)(3x + 2)
On commence par repérer les opérations qui nous intéressent : l’opération principale et les deux multiplications de niveau immédiatement inférieur. Les autres opérations (à l’intérieur des parenthèses) ne concernent pas la factorisation :
5 × (3x + 2) (x – 5) × (3x + 2) Le facteur commun est (3x + 2)

On pose alors la question : « par quoi le facteur commun est-il multiplié dans chacun des produits ? »


Il est multiplié par 5 dans le premier produit, par (x – 5) dans le deuxième. D'où :

5 × (3x + 2) (x – 5) × (3x + 2) = (5 (x – 5)) × (3x + 2)

S'il n'apparaît pas de facteur commun, on peut utiliser également les identités remarquables.

Réduire une expression
Lorsqu'on développe un produit, on obtient une somme de plusieurs produits.

(4x – 2)(5x + 3) = (4x × 5x) + (4x × 3) – (2 × 5x) – (2 × 3)

On essaie alors d'obtenir l'écriture la plus simple possible de ce résultats.
  • les multiplications :

    • 2 × 5x = 10x
Certains élèves, par souci de précision, écriront 2 × (5 × x).
Ils pourront alors être tentés de « distribuer » le 3 et d’écrire :
2 × (5 × x) = (2 × 5) × (2 × x)


L’élève a mémorisé la situation de distributivité visuellement par rapport aux parenthèses : nombre(nombre, nombre), et non par rapport aux opérations qui interviennent. Un exemple numérique permet facilement de montrer l’erreur : pour calculer 3 × (4 × 5), on ne multiplie pas deux fois par 3 !

    • 4x × 5x
    • Il faut se rappeler que 4x et 5x sont des multiplications et qu’on a donc quatre nombres multipliés :
      4x × 5x = 4 × x × 5 × x
      On peut changer l’ordre des nombres et les regrouper :
      4 × x × 5 × x = (4 × 5) × (x × x)

      4x × 5x = 20x²
Il peut y avoir une confusion avec les situations d’addition : par analogie avec 4x + 5x = 9x, certains élèves écriront : 4x × 5x = 20x en faisant le raisonnement suivant : « on calcule les nombres et on garde le x. »
  • les sommes : une fois les multiplications réduites, on obtient
    (4x – 2)(5x + 3) = 20x² + 12x – 10x – 6

    On regroupe alors les termes ayant comme facteur commun x ou x² et on factorise :
    20x² + 12x – 10x – 6 = 20x² + (12 – 10)x – 6

    20x² + 12x – 10x – 6 = 20x² + 2x – 6
Lorsque les transformations du genre 4x + 5x= 9x deviennent plus ou moins automatiques, on oublie facilement qu’elles proviennent d’une factorisation. Cela peut générer des erreurs du type : 4x + 5x = 9x².

L’élève explique souvent qu’ « il y a deux fois x, donc ça fait x² ». Il faut dans ce cas revenir à la signification du calcul et détailler les règles de transformation utilisées.


On procèdera de même lorsque l'élève est désorienté par la présence de coefficients non entiers :
2x + x = (2 + ) × x = x

Les identités remarquables
en troisième
Les identités remarquables sont des égalités dans lesquelles la forme développée a été réduite :
  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a – b)² = a² – 2ab + b²
  • (a + b)(a – b) = a² – b²
Elle servent à accélérer certains développements et permettent (en particulier la troisième) de factoriser des expressions dans lesquelles il n’y a pas de facteur commun :
  • développer (3x – 5)²
    on utilise la deuxième formule avec a = 3x et b = 5
    (3x5)² = (3x)² – (2 × 3x × 5) + 5²
    (3x – 5)² = 9x² – 30x +25
Les élèves hésitent souvent sur la place du signe « moins » dans la formule.

Le signe « moins » porte sur le terme où il n’y a pas de carré car le signe « moins » disparaît quand on met au carré.

  • factoriser 9x² – 4
    on remarque que : 9x² = (3x)² et 4 = 2²
    on utilise la troisième formule avec a = 3x et b = 2
    (3x)² – (2)² = (3x + 2)(3x2)
    9x² – 4 = (3x + 2)(3x – 2)

Il est imporatnt de bien se poser les questions :
« qui est a ? » et « qui est b ? » pour éviter les erreurs.





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