le calcul numérique




en sixième
Le vocabulaire
Il est important de bien le connaître car il sera constamment utilisé pour expliquer les propriétés étudiées.
  • 3 + 2 est une somme dont 3 et 2 sont les termes.

  • 3 – 2 est une différence dont 3 et 2 sont les termes.
Cette utilisation d’un même mot pour les deux nombres d’une soustraction peut paraître étrange dans la mesure où l’opération n’est pas symétrique : 3 – 2 n’est pas égal à 2 – 3. Elle n’aide pas à éviter une confusion que font souvent les élèves entre ces deux écritures.
  • 3 × 2 est un produit dont 3 et 2 sont les facteurs.

  • 3 : 2 ou est un quotient dont 3 est le dividende et 2 est le diviseur.
La division avec reste (ou division euclidienne)
Dans la division de deux nombres entiers, si le dividende n'est pas un multiple du diviseur, on peut
  • soit chercher un résultat décimal :35 : 4 = 8,75

  • soit calculer le quotient entier et le reste :
    C'est la division euclidienne de 35 par 4.
    Cette opération n'a pas d'écriture en ligne mais peut se traduire par l'égalité :
    35 = 8 × 4 + 3
Le calcul posé
Ce n’est pas forcément la priorité puisqu’on dispose d’autres moyens (calculette). Il est tout de même souhaitable de savoir effectuer les quatre opérations avec des nombres simples (2 ou 3 chiffres).
Le calcul mental
Le programme le présente au contraire comme une priorité. En particulier, ne pas maîtriser les tables de multiplication risque de constituer un handicap. Les multiplications et les divisions par 10, 100, 1000… sont très utiles pour les changements d’unités.


Pour être efficace en calcul mental, il ne faut pas reproduire dans sa tête les méthodes du calcul posé, mais utiliser des techniques spécifiques.

Le calcul approché
Ce terme recouvre deux techniques différentes :
  • arrondir un résultat avec une précision fixée par la consigne :
    une valeur approchée au centième de 3,12 × 1,88 = 5,8656 est 5,87.

  • estimer un ordre de grandeur, c’est-à-dire une valeur approchée du résultat d’une opération en arrondissant les nombres de départ :
    312 × 48 est à peu près égal à 300 × 50 = 15000.
    C’est alors à l’élève de décider comment il arrondit les deux nombres.
L’expression « ordre de grandeur » est souvent mal comprise à cause d’une confusion avec les problèmes d’ordre entre les nombres.


Les enchaînements d’opérations
  • L’ordre dans lequel doivent être effectuées les opérations est d’abord donné par les parenthèses puis par la lecture du calcul de gauche à droite :
    12 – 8 - (17 – (3 × 5)) = 12 – 8 – (17 – 15) = 12 – 8 – 2 = 4 – 2 = 2
Une règle fondamentale apparaît : on ne peut effectuer correctement le calcul que si on le lit d’abord en entier. De même qu’il faut lire une question jusqu’au point d’interrogation pour la comprendre et pouvoir y répondre, de même il faut « comprendre » le calcul en le lisant jusqu’au bout avant de l’effectuer.

  • Dans une suite d'additions et de soustractions, on peut changer l'ordre des calculs :
    4 – 2 – 1 + 5 = 5 + 4 – 1 – 2
Il faut toujours considérer de manière indissociable chaque nombre avec le signe d’opération (+ ou –) qui le précède immédiatement. L’absence de signe devant le premier nombre s’interprète comme un +.

4 – 2 – 1 + 5 = 5 + 4 – 1 – 2
  • Dans une suite de multiplications, on peut changer l'ordre des calculs :
    4 × 2 × 5 = 5 × 4 × 2
en cinquième
Les priorités
On commence un processus qui sera amplifié par la suite : certains signes du calcul ne sont plus écrits. Il s’agit des parenthèses autour des produits et des quotients. La règle est alors que les multiplications et les divisions sont « prioritaires » dans le calcul par rapport aux additions et aux soustractions : on les effectue en premier quel que soit l’ordre dans lequel est écrit le calcul.

Le calcul
12 – 8 – (17 – 3 × 5) doit être compris comme
12 – 8 – (17 – (3 × 5))

Cet allègement de l’écriture ne rend pas la lecture plus facile, bien au contraire ! Ce sont désormais les opérations et non plus les parenthèses qui structurent le calcul. Cela nécessite une grande attention et les erreurs sont fréquentes même chez des élèves qui connaissent bien la règle.

Les calculettes « scientifiques » appliquent cette convention d’écriture mais pas les calculettes ordinaires..

Si on tape 3 + 4 × 2, on obtiendra :
  • 3 + (4 × 2) = 11 avec une calculette « scientifique » : priorité respectée

  • (3 + 4) × 2 = 14 avec une calculette ordinaire : calcul de gauche à droite

Lorsqu'on lit le calcul, il faut mentalement remettre les parenthèses.


La division des nombres décimaux
Pour transformer le quotient de deux nombres décimaux en quotient de nombres entiers, on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre (10, 100, 1000...) :
= =
On retrouve la même règle que pour les fractions égales.

La distributivité
Pour calculer mentalement 7 × 106 ou 8 × 98, il est pratique de procéder ainsi :
106 = 100 + 698 = 100 – 2
7 × 100 = 7008 × 100 = 800
7 × 6 = 428 × 2 = 16
donc 7 × 106 = 700 + 42 = 742donc 8 × 98 = 800 – 16 = 784
On a utilisé les égalités :

7 × (100 + 6) = (7 × 100) + (7 × 6)et8 × 98 = (88 × 100) – (8 × 2)

Cette propriété des opérations +, – et × s’appelle la distributivité : on a « distribué » le facteur 7 ou le facteur 8 aux deux termes de la somme ou de la différence. Elle sera surtout utilisée en calcul littéral.

Il faut savoir utiliser la propriété dans les deux sens :
7 × (100 + 6) = 7 × 100 + 7 × 6 = 742
ça s’appelle développer
mais aussi :
4 × 72 + 4 × 28 = 4 × (72 + 28) = 4 × 100 = 400
ça s’appelle factoriser.




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