le calcul numérique






en cinquième
L’addition et la soustraction des nombres relatifs
Les règles d’addition énoncées dans les manuels sont parfois très compliquées.

L’addition peut facilement être illustrée par l’ascenseur : ajouter (+5) c’est monter de cinq étages, ajouter (-2) c’est descendre de deux étages.


D’où (-4) + (+5) = (+1) et (+1) + (-2) = (-1)

La somme de deux nombres opposés est égale à 0 :

(+4) + (-4) = 0

La soustraction est plus difficile à interpréter.
Représentons les nombres positifs par des tas de cailloux et les nombres négatifs par des trous :
(+2) (-3)

moins égale
3 trous 2 trous 1 trou
(-3) (-2) = (-1)

Mais on peut aussi dire que pour boucher deux trous on a utilisé deux tas :
plus égale

soit (-3) (-2) = (-3) + (+2) = (-1)

La règle est simple à énoncer : soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé.
Pour transformer un nombre en son opposé, il suffit de changer son signe :
l’opposé de (+5) est (-5), l’opposé de (-2) est (+2).

Il convient donc de transformer les soustractions en additions :
(+5) (-3) = (+5) + (+3)

Lorsqu’on passe à une écriture « simplifiée » des nombres relatifs, attention à ne pas confondre le signe « moins » d’un nombre négatif et le signe « moins » de la soustraction :

si on écrit -4 5 = -9, les signes « moins » ne sont pas tous les mêmes :
-4 et -9 désignent des nombres négatifs, le devant le 5 représente une soustraction.

Dans un calcul, il y a toujours un signe d’opération entre deux nombres.

Sur les claviers des calculettes scientifiques, le "moins" des nombres négatifs est en général représenté par le symbole (-), celui de la soustraction par le symbole – .

en quatrième
La multiplication et la division des nombres relatifs
Contrairement à l’addition et à la soustraction, il suffit de connaître le signe des deux nombres pour connaître le signe du résultat d’une multiplication ou d’une division. C’est la règle des signes :
  • si les deux nombres sont de même signe, le résultat est positif.

  • si les deux nombres sont de signe contraire, le résultat est négatif.
Certains cas s'expliquent facilement :
  • si les deux nombres sont positifs, on retrouve la multiplication et la divison bien connues.

  • si on multiplie ou divise un nombre négatif par un nombre positif : si je double mon déficit (multiplication par 2), j'aurai toujours un déficit. Et si je le réduis de moitié (division par 2), ce sera quand même un déficit.
C'est plus difficile à illustrer lorsqu'on multiplie deux nombres négatifs. On peut fournir une explication purement mathématique :
(+3) + (-3) = 0 donc 2 × ((+3) + (-3)) = 0
Mais 2 × ((+3) + (-3)) = (2 × (+3)) + (2 × (-3))(règle de la distributivité)
Donc (2 × (+3)), qui vaut (+6), et (2 × (-3)) sont opposés.
Conclusion : 2 × (-3) = (-6)

Cette règle se traduit par le tableau suivant :
:
signe de a × b
et de a : b
signe de a
+
signe de b
++
+

(-3) × (-5) = 15et(-3) × 5 = -15

= 3et = = -3

Il faut insister sur le fait que la « règle des signes » ne s'applique qu'à la multiplication et à la division, et pas à l'addition ni à la soustraction.





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