le calcul numérique




Les puissances
  • avec un exposant positif :
    L’exposant compte le nombre de fois où l’on multiplie le nombre par lui-même :
    34 = 3 × 3 × 3 × 3il y a 4 facteurs
    On lit « 3 puissance 4 » ou « 3 exposant 4 »

    Cas particuliers :
    • 32 se lit : 3 au carré = 3 × 3
    • 43 se lit : 4 au cube = 4 × 4 × 4
Le nombre écrit en exposant n’intervient pas directement dans le calcul et cela constitue une difficulté certaine. La confusion entre 3² et 3 × 2 est fréquente.

  • les règles de calcul :
    Elles découlent très naturellement de la définition.
    Si on multiplie deux puissances d’un même nombre, il suffit de compter le nombre total de facteurs pour aboutir à la règle : on additionne les exposants.
    34 × 32 = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 36

    Si on divise deux puissances d’un même nombre, on simplifie la fraction autant que possible. Le nombre de facteurs restant est égal à la différence des exposants :
    = = 3 × 3 × 3 = 33 = 35 – 2
Il est préférable d’insister sur ces raisonnements plutôt que d’apprendre des formules par cœur. L’automatisme viendra de lui-même.


  • avec un exposant négatif :
C’est une des notions les plus difficiles étudiées au collège car malgré le signe « moins » de l’exposant on n’a pas un nombre négatif.
    = = =

    Par ailleurs en appliquant la règle de soustraction des exposants, on obtient aussi
    = 32 – 5 = 3-3
    On définit alors 3-3 = = l’inverse de 33
    a-n =
    Remarque : = 35 – 5 = 30 et par ailleurs = 1 puisqu’on divise un nombre par lui-même.
    Donc 30 = 1.

  • les puissances de 10:
    Les exposants sont surtout utilisés avec le nombre 10 car l’écriture décimale de ces puissances est très simple :

    105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
    le nombre de zéros est égal à l’exposant.

    10-3 = = 0,001
    le nombre de chiffres après la virgule est donné par l’exposant.

    Ces puissances permettent une écriture plus pratique des nombres très grands ou très petits.
On constate souvent des confusions avec les puissances de 10 lorsqu’on a un autre nombre avec un exposant négatif :
3-4 n’est pas égal à 0,0003 !


Comme souvent, il suffit de revenir à la définition.








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