les constructions géometriques







La méthode de construction du triangle dépend du genre d'informations dont on dispose.
Avec les longueurs des côtés
« Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm, BC = 4 cm et CA = 5 cm. »

  • on trace un segment [AB] de 6 cm :

  • avec le compas, on prend un écartement de 4 cm et on trace un arc de cercle de centre B :


  • avec le compas, on prend un écartement de 5 cm et on trace un arc de cercle de centre A :
  • le point d’intersection des deux arcs de cercle est C.

Si on donne trois longueurs, on ne peut pas toujours construire un triangle ayant pour dimensions ces trois longueurs car il se peut que les arcs de cercle ne se coupent pas.

Pour que la construction soit possible, il faut : AB < AC + CB.
C’est l’inégalité triangulaire.
Avec des longueurs et des angles
« Construire un triangle ABC tel que AB mesure 5 cm, BC mesure 7 cm et mesure 100°. »

Dans ce cas c’est à l’élève de choisir l’ordre dans lequel il va tracer les différents éléments de la figure.


Il faut commencer par faire une figure à main levée. C’est l’analyse de cette figure qui permettra de définir le programme de construction.


On ne peut pas commencer la construction par le segment [AC] dont on ne connaît pas la longueur ni par [BC] car on ne saurait pas ensuite où placer le sommet de l’angle.
On commencera donc par [AB].
  • on trace un segment [AB] de 5cm :

  • avec le rapporteur, on trace un angle de 100° de sommet A et de côté [AB) :
  • avec le compas, on place le point C sur le deuxième côté de l’angle à 7cm de B :


En utilisant des propriétés
Certaines constructions ne sont pas possibles en utilisant directement les informations de l'énoncé. Il faut alors commencer par un raisonnement qui permettra de trouver des informations supplémentaires.

« Construire un triangle ABC isocèle en B tel que BC mesure 5 cm et mesure 40°. »

On fait une figure à main levée :
On voit bien que les informations chiffrées ne suffisent pas :
  • si on trace un angle de 40°, on ne saura pas de quelle longueur faire les côtés.
  • si on trace [AC], on ne saura pas comment placer B.
Il faudrait connaître la longueur commune à [AB] et [CB] ou les angles à la base, qui sont égaux puisque le triangle est isocèle.

On peut alors penser à la propriété :
en cinquième

« La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. »

Comme mesure 40°, la somme des deux angles à la base est 180 – 40 = 140.
Comme ces deux angles sont égaux, ils mesurent chacun la moitié de 140, soit 70°.
D'où le programme de construction :
  • on trace un segment [AC] de 5 cm

  • on trace un angle de 70° à chaque extrémité

  • les deux demi-droites obtenues se coupent en B.





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