les démonstrations







Hypothèse et conclusion
Une propriété mathématique comporte :
  • une ou des hypothèses : l’information dont on dispose au départ.
  • une ou des conclusions : l’information nouvelle qu’on obtient.
Les propriétés peuvent être formulées de diverses manières. La plus explicite est la forme « si… alors… » :

« Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur. »
(hypothèse)(conclusion)

Propriété vraie et propriété fausse
On dit qu’une propriété est vraie si dans tous les cas où l’hypothèse est vérifiée la conclusion l’est aussi. Il suffit d’un seul exemple où ça ne « marche » pas pour que la propriété soit déclarée fausse.

a, b, c sont trois nombres : « Si a × b = a × c, alors b = c ».

A première vue, la propriété semble vraie :

Par exemple si 3 × b = 3 × c, il suffit de diviser les deux membres de l’égalité par 3 pour obtenir b = c. Et on peut trouver une infinité d’autres exemples.

Mais si a = 0, b = 1, c = 2, l’hypothèse est vérifiée (0 × 1 = 0 × 2 = 0) mais b est différent de c ! C’est un contre-exemple.

Donc la propriété est fausse.


Cette notion mathématique de vrai et de faux est très différente de celle qu’on utilise dans la vie courante.

Si on affirme : « Les Suisses sont plus riches que les Grecs », personne n’aura l’idée de dire que c’est faux bien que certains Grecs puissent être plus riches que certains Suisses. C’est une vérité statistique.


En mathématiques, il suffit d’un contre-exemple pour que la propriété soit déclarée fausse.

Les conjectures
En étudiant plusieurs exemples d’une même situation, on peut avoir l’impression qu’une propriété reste vraie dans tous les cas sans pour autant que cette propriété soit démontrée. On l’appelle alors une conjecture.

« Calculons la somme des n premiers nombres impairs : »
  • 2 nombres : 1 + 3 = 4
  • 3 nombres : 1 + 3 + 5 = 9
  • 4 nombres : 1 + 3 + 5 + 7 = 16
  • 5 nombres : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
On s’aperçoit que les résultats sont successivement 2², 3², 4², 5².
On peut alors conjecturer que :
« La somme des n premiers nombres impairs est égale à n². »
Mais rien ne prouve que ça reste vrai au-delà de 5…

En géométrie, l’utilisation de logiciels qui permettent de modifier une figure à l’infini tout en conservant ses propriétés est un bon moyen à la fois de formuler des conjectures et de mettre en évidence d’éventuels contre-exemples.





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