les démonstrations







Les propriétés
Une propriété mathématique comporte :
  • une ou des hypothèses : l’information dont on dispose au départ.
  • une ou des conclusions : l’information nouvelle qu’on obtient.
Les propriétés peuvent être formulées de diverses manières. La plus explicite est la forme « si… alors… » :

« Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur. »
(hypothèse)(conclusion)

Avec d’autres écritures, hypothèse et conclusion sont plus difficiles à identifier :

« Dans un carré, les diagonales ont la même longueur. »

ou même :

« Les diagonales d’un carré ont la même longueur. »

Dans certains cas, on est amené à nommer les éléments de la figure pour énoncer la propriété de manière plus simple :

« Si un point est sur un cercle, alors sa distance au centre est égale au rayon du cercle. »

peut ainsi devenir :
« Si M est un point du cercle de centre O et de rayon R, alors OM = R. »



Dans les exercices, les noms ne seront pas forcément les mêmes.



Il est conseillé de lister les correspondances entre les noms utilisés dans l’exercice et ceux de la propriété :





A ↔ O
B ↔ M
3 cm ↔ R




« Si M est un point du cercle de centre O et de rayon R, alors OM = R. »

devient alors :

« Si B est un point du cercle de centre A et de rayon 3 cm, alors AB = 3 cm. »

Les réciproques
En échangeant l’hypothèse et la conclusion d’une propriété, on obtient la propriété réciproque (cette notion n’est pas explicitement au programme mais de nombreux professeurs l’utilisent).

Pour certaines propriétés la réciproque est vraie :

« Si un triangle est rectangle, alors il a deux angles dont la somme est 90° »vrai
« Si un triangle a deux angles dont la somme est 90°, alors il est rectangle »vrai

Pour d’autres elle est fausse :

« Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales ont la même longueur. »vrai
« Si un quadrilatère a ses diagonales de la même longueur, alors c’est un carré. »faux !
AC = BD : les diagonales ont la même longueur mais ABCD n’est pas un carré.


Les définitions
Une définition résume souvent deux propriétés réciproques :

Définition : « Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur. »

Propriété 1 : « Si un quadrilatère est un losange, alors ses 4 côtés ont la même longueur. »
Propriété 2 : « Si un quadrilatère a ses 4 côtés de la même longueur, alors c’est un losange. »


Dans la rédaction des démonstrations, on utilise de préférence ces énoncés.


Les propriétés caractéristiques
Lorsque la réciproque d'une propriété d’une figure est vraie, on dit que cette propriété caractérise cette figure :

« Si un triangle est isocèle, alors il a deux angles égaux. »
« Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. »

C’est une situation que l’on rencontre fréquemment et il faut faire attention de prendre la propriété dans le bon sens par rapport au raisonnement que l’on veut faire.



Il faut se poser les questions : « Qu’est-ce que je sais ? » et « Qu’est-ce que je veux prouver ? ». La réponse à la première sera l’hypothèse, la réponse à la deuxième sera la conclusion.




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