les démonstrations







Poser des questions
L'énoncé suivant peut être proposé dès la sixième :

« Deux cercles c1 et c2 de même rayon et de centres A et B se coupent en C et D. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. »



Un échange oral entre l’élève et son professeur pourrait être :

« Il est isocèle.
- Et pourquoi est-il isocèle ?
- Parce que AC = BC.
- Et pourquoi AC = BC ?
- Parce que les deux cercles ont le même rayon. »


C’est ce questionnement que l’élève doit apprendre à faire de lui-même.


Une rédaction de ce raisonnement pourrait être :

« [AC] est un rayon du cercle c1 et [BC] est un rayon du cercle c2.
Or les deux cercles ont le même rayon.
Donc AC = BC.
Un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle.
Donc ABC est un triangle isocèle. »

On constate que les éléments du raisonnement apparaissent dans l’ordre inverse par rapport au dialogue précédent : l’ordre dans lequel on expose le raisonnement n’est pas le même que celui de la recherche.
Rédiger
Les professeurs ont en général des exigences très précises pour la rédaction des démonstrations. La rédaction d’une étape de raisonnement comporte trois parties :
  • la ou les informations dont on dispose grâce à l’énoncé du problème ou aux questions précédentes : ce sont les hypothèses (souvent précédées de « je sais que »).

Ce « je sais que » concerne les informations dont on dispose dans un problème particulier et non les connaissances générales de l’élève sur le sujet.
  • la propriété utilisée (souvent précédée de « or »).
  • l’information nouvelle obtenue grâce à cette propriété : c’est la conclusion (précédée de « donc »).


« Je sais que AC = BC.
Or « un triangle qui a deux côtés de même longueur est isocèle ».
Donc ABC est un triangle isocèle. »



Seules la ou les hypothèses nécessaires à l’application de la propriété utilisée doivent être citées.


On sait aussi que AD = BD, mais cette égalité n’intervient pas dans le raisonnement et ne doit donc pas être écrite.
Chercher

Pour se conformer à ce modèle de rédaction, les élèves organisent le plus souvent leur recherche suivant le même plan, ce qui n’est pas la meilleure méthode.

L’élève commence par écrire « Je sais que » et ne sait pas ensuite quelles données du problème choisir.


La phase de recherche est faite de va-et-vient entre les hypothèses du problème et sa conclusion. Elle démarre souvent par une étude de la conclusion.

Le problème suivant fait appel aux connaissances du programme de cinquième (propriétés des symétries et des quadrilatères) mais son niveau de difficulté en fait plutôt un exercice de quatrième :

« Soit un segment [AB] de milieu O. La droite d est la perpendiculaire à [AB] passant par O. C est un point de d distinct de O. D est le symétrique de C par rapport à O. Démontrer que ACBD est un losange. »



Les hypothèses sont nombreuses alors que la conclusion est unique. Il est donc plus facile de partir de la conclusion en posant la question :
« Comment peut-on démontrer qu’un quadrilatère est un losange ? »

Il faut alors lister les propriétés dont on dispose pour aboutir à cette conclusion :

  • « Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur, alors c’est un losange. »
  • « Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. »
  • « Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange. »

Cette étape suppose de très bien connaître les propriétés des quadrilatères !

On cherche alors dans l’énoncé des informations qui correspondent à l’une ou l’autre de ces propriétés. On n’y trouve rien concernant les longueurs des côtés. En revanche la phrase :
« La droite d est la perpendiculaire à (AB) passant par O »
parle bien des diagonales de ACBD puisque la droite d n’est autre que la droite (CD). Les diagonales de ACBD sont perpendiculaires. Il semble donc qu’on puisse utiliser la troisième propriété.

Mais cette propriété a comme hypothèse que le quadrilatère étudié est un parallélogramme. Pour pouvoir l’utiliser, il faut d’abord prouver que ACBD est un parallélogramme.

Les propriétés permettant de caractériser un parallélogramme sont nombreuses et il va de nouveau falloir choisir celle qui convient. Certaines propriétés concernent les côtés, mais on n’a pas d’informations à leur sujet. On s’oriente plutôt vers celle qui concerne les diagonales :

« si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme. »

Se pose alors la question : « Connaît-on le milieu des diagonales ? »

Les diagonales sont [AB] et [CD]. L’énoncé nous dit :

« Soit un segment [AB] de milieu O » : O est le milieu de [AB].
« D est le symétrique de C par rapport à O » : O est le milieu de [CD].

On dispose donc bien des hypothèses nécessaires.


Cette démarche est grandement facilitée si on utilise une figure codée :



On voit immédiatement que les informations disponibles concernent les diagonales du quadrilatère.

Ce n’est qu’une fois ce travail effectué qu’on peut passer à la rédaction de la démonstration :

Etape 1 :
Je sais d’après l’énoncé que O est le milieu de [AB] et que D est le symétrique de C par rapport à O, donc que O est aussi le milieu de [CD].
Or « si les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme ».
Donc ACBD est un parallélogramme.

Etape 2 :
Je sais d’après l’étape 1 que ACBD est un parallélogramme de diagonales [AB] et [CD]. De plus, d’après l’énoncé, la droite d, qui est aussi la droite (CD) est perpendiculaire à [AB].
Or « si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange ».
Donc ACBD est un losange.




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