les équations




Les différentes significations du signe « = »
en cinquième ... et aussi beaucoup plus tard

En calcul numérique, il n’y a pas d’ambiguïté, le signe « = » signifie que le nombre de droite et celui de gauche ont la même valeur :
3 + 2 = 5 = 0,75

En calcul littéral, on rencontre deux situations très différentes :
  • soit on affirme que deux expressions représentent le même calcul :
    3x + 5x = 8x
    « Pour n’importe quelle valeur de x, 3x + 5x et 8x donnent le même résultat. »

  • soit on pose une question :
    3x + 5 = 8x – 2
    « Peut-on trouver des valeurs de x pour lesquelles 3x + 5 et 8x – 2 donnent le même résultat ? »
    On voit facilement que l'égalité n’est pas toujours vraie. Par exemple si x = 1, le premier membre de l'égalité vaut 8 et le second 6.
    C’est cela qu’on appelle une équation. x s’appelle l’inconnue.

Cette différence n’est pas toujours clairement mise en évidence en classe. Le risque de confusion est important à cause de la ressemblance entre ces deux types d’écriture.

Au début, on peut utiliser le signe «  » à la place du « = » simple (ce symbole n’a rien d’officiel). Dans tous les cas, il peut être utile de faire dire à l’élève quel genre de travail il est en train de faire.
Tester une égalité
en cinquième
La première étape de l’apprentissage consiste à vérifier que l’égalité peut être vraie pour certaines valeurs de x et fausse pour d’autres :

L’égalité 5x + 1 = 8x – 2
  • est fausse si x = 2 car 5 × 2 + 1 = 11 et 8 × 2 – 2 = 14.
  • est vraie si x = 1.
    On dit que 1 est une solution de l’équation 5x + 1 = 8x – 2.
Cette étape est importante pour comprendre ce que le mot « solution » signifie. Elle permet également de voir que des équations peuvent avoir plusieurs solutions (avant la 3e, on ne résoudra que des équations ayant une seule solution).

On peut vérifier que 1 et 4 sont deux solutions de l'équation 5xx² = 4.




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