les équations





Avant d'aborder la résolution des équations, il convient de bien comprendre ce que veulent dire les mots équation et solution.

Il existe différentes techniques pour résoudre les équations. Chaque technique correspond à un genre d’équations. Deux d’entre elles sont enseignées au collège.


Il est bon d'apprendre à conjuguer correctement le verbe résoudre.



en sixième
en cinquième
Les équations élémentaires
On aborde les équations à une seule opération (sans forcément utiliser le mot) lorsqu’on traduit un problème par une « opération à trou ».
Poser
37 + ? = 50
revient à écrire l’équation
37 + x = 50
La résolution de ces équations ne nécessite pas de technique particulière mais seulement une bonne compréhension des opérations : le nombre qu’il faut ajouter à 37 pour obtenir 50 est par définition le résultat de la soustraction 50 – 37.

La seule solution est donc 13.

De même l'équation 7x = 42 a pour unique solution = 6 par définition de la division (dans 42 combien de fois 7 ?).

en troisième
Les équations du premier degré
Les équations du premier degré sont celles qui peuvent s’écrire ax + b = cx + d.

La technique utilisée comprend une seule règle :

« On peut transformer une équation en effectuant la même opération sur les deux membres de l’équation. »


Cette règle s’illustre bien à l’aide d’une balance :





2 + 3= 7

2x + 3=7

La balance reste équilibrée si on enlève 3 boules de chaque côté :



2x=4


2x + 3 – 3=7– 3

La balance reste équilibrée si on enlève la moitié de chaque côté :



x=2


2x : 2=4: 2

Il arrive fréquemment qu’on passe directement de 2x + 3 = 7 à 2x = 7 – 3 sans expliciter la soustraction dans le membre de gauche (on sait bien que 3 – 3 = 0). On obtient alors des « règles » du genre : « je passe 3 de l’autre côté en changeant le signe » ou « je transpose le 3 ». Ces formulations sont à éviter absolument. Comme elles ne font pas référence aux opérations effectuées, elles entraînent des erreurs grossières.

On trouve une équation de ce genre dans le problème du prix des livres :

7x – 3,20 = 5x + 12

On applique la règle plusieurs fois de suite (avec des opérations différentes) jusqu’à obtenir un membre réduit à x :
  • on soustrait 5x
    (1)7x – 3,20 – 5x = 5x + 12 – 5x
    (2)2x – 3,20 = 12
  • on ajoute 3,20
    (3)2x – 3,20 + 3,20 = 12 + 3,20
    (4)2x= 15,20
  • on divise par 2
    (5)2x : 2 = 15,20 : 2
    (6)x= 7,60
La seule solution est 7,60.

Il est bon de remarquer que les lignes de calcul sont de deux types :
  • celles où l'on modifie l’équation elle-même : lignes (1) (3) (5).
  • celles où l’on ne modifie que l’écriture d’un ou des deux membres : lignes (2) (4) (6).

Il peut être nécessaire de commencer par modifier l’écriture d’un membre pour voir apparaître la bonne forme de l’équation. C’est le cas dans le problème des âges :
46 + x = 2(10 + x)

On développe le second membre :
46 + x = 20 + 2x

La résolution proprement dite ne commence qu’ensuite :
on soustrait x 46 = 20 + x
on soustrait 2026 = x

La solution est 26.

Les opérations effectuées doivent bien concerner l’ensemble des membres de l’équation. On ne peut pas par exemple faire disparaître le 10 dans l’équation de départ : cela supposerait qu’on soustraie 10 à (10 + x) et non à 2(10 + x). C’est pourquoi il est nécessaire de développer.


Dans les exemples de résolution proposés, le x final se retrouve tantôt à gauche tantôt à droite du signe « = ». Cela n’a pas d’importance. Les élèves ont souvent l’habitude de le mettre systématiquement à gauche : cela permet un travail plus automatique, ce qui améliore la rapidité mais ne favorise pas la compréhension. On a privilégié ici le fait de travailler avec des coefficients positifs, ce qui limite le risque d’erreur.


Il peut arriver que la transformation de l’équation aboutisse à une égalité du genre 0 = 0 ou 0 = 2. Cela déstabilise souvent les élèves. Dans ce dernier cas, ils proposent parfois 2 comme solution parce qu’ils ont retenu que « la solution, c’est le nombre auquel on arrive à la fin. »


Il faut se souvenir de la question à laquelle on cherche à répondre : « pour quelles valeurs de x l’égalité est-elle vraie ? »


La réponse est alors facile :
  • 0 = 0 est vrai pour n’importe quelle valeur de x. Tous les nombres sont solutions.
  • 0 = 2 n’est vrai pour aucune valeur de x. Il n’y a pas de solution.
Les équations-produits
On résout des équations de la forme (ax + b)(cx + d) = 0.

Cette technique repose sur la règle suivante :
« Le résultat d’une multiplication ne peut être égal à 0 que si on a multiplié un nombre par 0. »
ou sous une forme plus mathématique :
« Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul. »

Cette règle permet de remplacer l’équation de départ par deux équations plus simples :

(3x + 2)(4x – 1) = 0
équivaut à
3x + 2 = 0 ou 4x – 1 = 0
Il suffit ensuite de résoudre séparément les deux équations :
3x + 2 = 0 ou 4x – 1 = 0
3x = -2ou 4x = 1
x = - ou x =
Il y a donc deux solutions, - et .

Si on développe le produit, on obtient des x ² et on ne sait plus résoudre :


(3x + 2)(4x – 1) = 0
12 x ² – 3x + 8x - 2 = 0
12 x ² + 5x – 2 = 0
La résolution directe d’une telle équation n’est étudiée qu’en première.


C’est pour ramener une équation à une équation de ce type qu’on utilise principalement la factorisation :

12 x ² + 5x = 0
Sous cette forme, on ne sait pas résoudre. On factorise le membre de gauche :
x (12x + 5) = 0
x = 0 ou 12x +5 = 0
Il y a deux solutions, 0 et -

Attention à ne pas inventer une « règle » du même genre quand le produit est égal à autre chose que 0.





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