les équations





Les symboles
L’introduction du calcul littéral amène à utiliser les écritures

a ≤ b « a plus petit ou égal à b »
et
a ≥ b « a plus grand ou égal à b »

« Pour jouer au Monopoly, il faut être au moins deux. »

Si le nombre de joueurs s’appelle n, la traduction de la phrase est : n ≥ 2.

Ces symboles présentent une difficulté car il résument une double propriété : « ab » veut dire « a < b ou a = b ».

(lorsqu’on a des valeurs numériques, on voit bien si c’est égal ou pas)

Inégalité et addition
« Si deux nombres sont dans un certain ordre et si on ajoute ou soustrait la même quantité aux deux nombres, alors l’ordre ne change pas. »

si a < c,
alors
a – 3 < c – 3
et
a + 5 < c + 5

« Si Anne est plus jeune que Claire, elle était déjà plus jeune il y a trois ans et elle le sera encore dans 5 ans. »


Inégalité et multiplication
« Si deux nombres sont dans un certain ordre et si on multiplie ou divise les deux nombres par la même quantité positive, alors l’ordre ne change pas. »

si a < c,
alors
a × 2 < c × 2
et
a : 5 < c : 5

« Si le gâteau d’Anne est plus petit que celui de Claire et qu’elles découpent chacune leur gâteau en 5 parts, les parts d’Anne seront plus petites que les parts de Claire. »


Si deux nombres sont dans un certain ordre et si on multiplie ou divise les deux nombres par la même quantité négative, alors l’ordre s’inverse.


si a < c,
alors
a × (-2) > c × (-2)

C’est le changement de signe qui est la cause de cette inversion : si on se met la tête en bas, c’est le plus petit qui se retrouve le plus haut.



Les inéquations
Un problème peut conduire à exprimer non pas une égalité mais une inégalité :

« Gabriel a un jeu de cubes de deux dimensions : 3 cm et 5 cm. Il les empile sur un socle de 4 cm pour former une colonne en utilisant deux fois plus de gros cubes que de petits. Combien doit-il utiliser de cubes pour que la pile mesure au moins 160 cm ? »

Si x désigne le nombre de petits cubes, l’énoncé se traduit par :
4 + (x × 3) + ((2x) × 5) ≥ 160

C’est une inéquation.

La technique utilisée pour résoudre une inéquation du premier degré est la même que pour les équations du premier degré :
  • on réduit le membre de gauche :
    4 + 3x + 10x ≥ 160
    4 + 13x ≥ 160
  • on soustrait 4 :
    4 + 13x – 4 ≥ 160 – 4
    13x ≥ 156
  • on divise par 13 :
    13x :13 ≥ 156 :13
    x ≥ 12
Il faut utiliser au moins 12 petits cubes et 24 gros.

Il faut faire attention en cas de multiplication ou division par un nombre négatif : l’inégalité change de sens.


12 – 5x > 8
  • on soustrait 12 :
    12 – 5x – 12 > 8 – 12
    -5x > -4
  • on divise par (-5) :
    x <
    x < 0,8
Les solutions sont tous les nombres plus petits que 0,8.

Une inéquation a en général une infinité de solutions. On peut les représenter sur une droite graduée :


Les solutions sont les nombres situés dans la partie de gauche (rouge). Le crochet [ indique que la valeur limite 0,8 est située dans la partie de droite (partie bleue : 0,8 n’est pas une solution).

On peut résumer la signification du travail effectué par une phrase : « 12 – 5x est plus grand que 8 à condition que x soit plus petit que 0,8. »




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