les figures géométriques







Le codage des figures et les généralités sur les propriétés sont traités dans le chapitre Les démonstrations.

Les techniques de construction sont traitées dans le chapitre Les constructions géométriques.

Les calculs de longueurs et d'angles sont traités dans le chapitre Les calculs en géométrie.

Les périmètres et les aires sont traités dans le chapitre Les calculs en géométrie.
Définitions
Un triangle est un polygone à trois côtés.
Les points A, B, C sont les sommets du triangle.

Le segment [AB] est le côté opposé au sommet C.

Les propriétés des figures connues et celles qui permettent de reconnaître une figure sont différenciées par la couleur de leur écriture.

Les triangles particuliers
  • un triangle est isocèle s’il a deux côtés de même longueur.
    ABC est isocèle de base [BC]
    ou
    ABC est isocèle de sommet principal A
    ou
    ABC est isocèle en A



    « Si un triangle est isocèle, ses angles à la base sont égaux. »

    si ABC est isocèle en A, alors =

    « Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle. »

    si = , alors ABC est isocèle en A

    « Si un triangle est isocèle, alors la hauteur passe par le milieu de la base. »


  • un triangle est équilatéral s’il a trois côtés de même longueur.
    ABC est équilatéral

    « Si un triangle est équilatéral, ses trois angles sont égaux . »

    si ABC est équilatéral, alors = =

    « Si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral. »

    si = = , alors ABC est équilatéral


  • un triangle est rectangle s’il a un angle droit.
    ABC est rectangle

    [BC] est l’hypoténuse du triangle ABC.

Les hauteurs
Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
(AD) est la hauteur issue de A du triangle ABC.
ou
(AD) est la hauteur relative au côté [BC] du triangle ABC.

D est le pied de la hauteur.



Le mot « hauteur » peut aussi désigner le segment [AD] ou la longueur de ce segment.


Le pied de la hauteur peut être à l’extérieur du triangle.



Si on « pose » le triangle sur le côté BC, la hauteur (AD) représente le poteau vertical qui soutient le sommet A.


Dans un triangle rectangle, deux des trois hauteurs sont confondues avec les côtés. Cela désoriente souvent les élèves qui essaient vainement de construire une autre droite.

(AC) est la hauteur issue de C

en cinquième
L’inégalité triangulaire

« Dans un triangle, la longueur d’un côté est plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. »

BC < AB + AC

Cette propriété ne dit rien d’autre que : « Le plus court chemin d’un point à un autre est la ligne droite. »

Elle implique que si on donne trois longueurs, on ne peut pas forcément construire un triangle ayant pour dimensions ces trois longueurs.

Si une des longueurs est égale à la somme des deux autres, le triangle est « aplati » :


Cette situation se traduit par la double propriété :

« Si C est un point du segment [AB], alors AC + CB = AB. »

« Si AC + CB = AB, alors C est un point du segment [AB]. »


en cinquième
Les angles des triangles

« La somme des angles d’un triangle est égale à 180°. »


en quatrième / troisième
Les triangles égaux
Si deux triangles ont les trois mêmes longueurs de côtés, alors leurs angles ont aussi la même mesure et ils sont superposables. On dit aussi qu'ils sont égaux.
Les triangles
ABC et DEF sont égaux

« Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de mêmes longueurs, alors ils sont égaux. »



CA = FD
CB = FE
=

donc

ABC et CDE sont égaux

« Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de mêmes mesures , alors ils sont égaux. »



CA = FD
=
=

donc

ABC et CDE sont égaux

en quatrième / troisième
Les triangles semblables
Si deux triangles ont les trois mêmes mesures d'angle, on dit qu'ils ont la même forme ou qu'ils sont semblables.

Les mesures des angles peuvent être égales sans que les longueurs des côtés le soient.



Les triangles ABC et DEF
sont semblables.

« Si deux triangles ont deux angles de mêmes mesures, alors ils sont semblables. »

Comme la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, deux égalités suffisent : le troisième angle est obligatoirement le même dans les deux triangles.

« Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles. »

Les longueurs des côtés de DEF s'obtiennent en multipliant celles de ABC par un même nombre (1,5 sur la figure d'exemple).

Cette proportionnalité peut se traduire par l'égalité des quotients des longueurs :
= = (sur la figure d'exemple, les trois sont égaux à 1,5.)

DEF est un agrandissement de ABC.
ABC est une réduction de DEF.
On rencontre également des triangles semblables à propos du théorème de Thalès.

« Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables. »

1,6 = 0,8 × 2
2,4 = 0,8 × 3
3,2 = 0,8 × 4

donc

les triangles ABC et DEF
sont semblables.



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