les fractions







La mémorisation des techniques de calcul est facilitée si l’élève peut y associer des problèmes simples qui donneront du sens à ses opérations. Il est souvent pratique de traduire les problèmes de fractions par des schémas de partages.


en sixième
Prendre une fraction d’une quantité
« Si un bidon d’une contenance de 150 cl est rempli aux trois cinquièmes (aux ), quelle quantité de liquide contient-il ? »



(150 divisé par 5) = 30.
Un cinquième du bidon contient donc 30 cl, et trois cinquièmes 30 × 3 = 90 cl. Ce raisonnement est en général bien compris. Si ce n’est pas le cas, c’est probablement que l’enfant n’a pas acquis le sens de la division.

La traduction de : ( de 150 cl) par l’opération : ( × 150) est plus difficile à faire comprendre. La fraction d’une quantité est associée à un partage c’est-à-dire à une division. Traduire son calcul par une multiplication est donc un peu contre nature.

Cela vient du fait qu’on peut changer l’ordre des opérations : (150 : 5) × 3 est égal à (150 × 3) : 5 et à 150 × (3 : 5). Un choix judicieux entre ces trois écritures permet par ailleurs de faciliter le calcul.

On peut aussi donner l’explication suivante : le raisonnement avec le schéma comporte deux opérations, une division et une multiplication. La division est déjà là dans l’écriture de la fraction (c’est la barre de fraction). Reste à écrire la multiplication.

Cette traduction du « de » en « multiplié par » sera importante l’année suivante pour comprendre les problèmes de multiplication.



en quatrième
Ajouter et soustraire
On travaille d’abord sur les cas où les dénominateurs sont les mêmes : + =

La règle de calcul est alors évidente si on « écoute » l’opération :
« trois cinquièmes plus quatre cinquièmes égale sept cinquièmes » de même que « trois euros plus quatre euros égale sept euros ».

On traite ensuite les cas où un des dénominateurs est un multiple simple de l’autre. On change l’écriture de la fraction qui a le plus petit dénominateur pour être ramené au cas précédent :
pour additionner et , on constate que 15 = 5 × 3. On écrira donc : + = + =

On procède de la même manière pour la somme d'un nombre entier et d'une fraction. Dans ce cas, on écrit le nombre entier sous la forme d'une fraction de dénominateur 1 :
3 + = + = + =
Dans le cas général, pour obtenir ce dénominateur commun, il faut trouver un multiple commun aux deux dénominateurs. On peut pour cela multiplier les dénominateurs entre eux, même si ce n'est pas toujours la solution la plus simple :
= =


Dans les problèmes, il faut s’assurer que les deux fractions qu'on ajoute ou qu'on soustrait portent sur la même quantité.

  • si « j’ai mangé du pain à midi et le soir », ( + ) représente la fraction du pain mangée dans la journée.

  • si « j’ai mangé du pain à midi et du reste le soir », ( + ) n'a aucune signification dans le problème.
Multiplier
La règle de calcul est simple, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : × = .

Elle est généralement présentée aux élèves sans justification. Comme beaucoup de règles relatives à la multiplication, on peut l'illustrer par des calculs d'aires de rectangles :

Le carré de côté 1 m a une aire de 1 m².
On gradue les côtés de manière à placer un point aux d'un côté et un point aux de l'autre côté. On peut ainsi construire le rectangle rose dont l'aire, en m², mesure × .
Mais si on mesure en carreaux, l'aire du rectangle rose est 2 × 3 et celle du carré 5 × 4 : le rectangle rose représente = du carré.
On retrouve l'égalité : × = .

Il est assez fréquent que l’élève commence par mettre les fractions au même dénominateur comme pour l’addition, ce qui est inutile et complique les calculs.


Il suffit en général de faire expliquer à l'enfant pourquoi il a procédé ainsi pour qu'il se rende compte de la confusion qu'il a faite. C'est l'occasion de rappeler que lorsqu'on apprend une règle il est tout aussi important d'apprendre en même temps dans quelle situation elle s'applique.

Pour multiplier un nombre entier par une fraction, on peut écrire le nombre entier sous la forme d'une fraction de dénominateur 1 :
3 × = × =

Par ailleurs, lorsqu'on multiplie des fractions, il est préférable de simplifier le résultat avant d'effectuer les multiplications du numérateur et du dénominateur :

× = = = =

Sinon on obtient dont la simplification n'est pas du tout évidente !

Les problèmes qui la font intervenir la multiplication des fractions sont difficiles.


« J’ai tondu de la pelouse le matin et de ce qui restait l'après-midi. Quelle fraction de la pelouse ai-je tondue l'après-midi ? »

Solution :

Si j’ai tondu de la pelouse, il m’en restait à tondre. Ce que j'ai tondu l'après-midi représente donc des de la pelouse. C’est ce « de » qui se traduit par une multiplication : la surface tondue l'après-midi représente donc × = de la surface totale de la pelouse.


On peut illustrer ce calcul par le schéma suivant :


surface tondue le matin : de la pelousesurface tondue l'après-midi : du reste


La surface tondue l'après-midi correspond bien à 3 × 4 = 12 cases sur les 5 × 7 = 35 cases qui représentent la surface totale de la pelouse, soit de cette surface.

Diviser
On en a besoin pour résoudre des problèmes où l'on cherche la quantité de départ :

« Il y a 50 cl d’eau dans mon bidon, il est rempli aux . Quelle est sa contenance totale ? »
Solution :

du nombre cherché est égal à 50, soit × ? = 50. On sait que la solution est le résultat de la division de 50 par .

Pour effectuer ce calcul on définit l’inverse d’un nombre : l’inverse du nombre a est le nombre b tel que a × b = 1. Ainsi l’inverse de est car × = 1.

On peut alors énoncer la règle : « diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse » et calculer 50 : = 50 × = 125.

Mon bidon peut contenir 125 cl.


On peut facilement retrouver ce résultat par un raisonnement direct :




si du bidon contiennent 50 cl, en contient la moitié soit 25 cl
et le bidon entier 5 × 25 = 125 cl.
On voit bien qu’on a « inversé » les opérations par rapport à la fraction  : on a divisé par 2 et multiplié par 5, autrement dit multiplié par .

Une erreur fréquente consiste à inverser le premier nombre de la division ou les deux.




Un exemple simple peut servir à bien fixer la règle :


6 : 2 = 6 × 0,5 = 3. Le 6 ne change pas, c'est seulement le second nombre qui est inversé.

On peut aussi utiliser l’analogie avec la soustraction où l’on modifie simultanément l’opération et le nombre qui suit : 3 – (-2) = 3 + 2





Ce site est conçu et réalisé par Jean-Pierre Brelle professeur certifié de mathématiques. N'hésitez pas à lui faire part de vos remarques ici.