les graphiques et les fonctions





La notion de fonction est extrêmement importante pour la suite de la scolarité.


en cinquième
La notion de fonction
La distance d’arrêt d’une voiture, notée d (en m), en fonction de sa vitesse v (en km/h) peut être donnée
  • par un tableau de valeurs

    vitesse en km/h30507090110130
    distance d'arrêt en m1328477098130

  • par un graphique



  • par une formule de calcul écrite :
    d = +

  • par une formule de calcul dans un tableur :

Dans tous les cas, on associe à chaque nombre d’une série (la vitesse) un autre nombre (la distance d’arrêt) : on a ainsi défini une fonction.

Cette association peut aussi être faite par une touche de la calculette : c'est le cas des fonctions sinus, cosinus, tangente, utilisées en quatrième et en troisième pour la trigonométrie.

en troisième
Le vocabulaire et l'écriture des fonctions
On ne donne pas aux élèves de collège de définition rigoureuse d’une fonction. On travaille plutôt avec des images, comme celle d’une machine dans laquelle on fait entrer un nombre qui en ressort transformé.

  • Le nombre obtenu après transformation s’appelle l’image du nombre de départ.
  • Le nombre de départ est l’antécédent du nombre transformé.

  • Si on nomme f la fonction, on écrit f(90) = 70
    ce qui se lit
    « f de 90 égale 70 »
    et signifie que l’image de 90 par f est 70.

  • Les parenthèses symbolisent l’entrée de la machine.
Cette notation n’a rien d’évident. On peut facilement la confondre avec une multiplication, d’autant plus qu’on emploie la préposition « de » comme dans « de 28 » (voir : Les fractions).

Il faut insister sur le fait que f ne représente pas un nombre. Il est important que cela soit bien compris avant d’aborder les fonctions linéaires, pour lesquelles il y a encore plus de risque de confusion.


Si on définit la fonction f avec la formule de calcul, on écrit :
f : v +
ou
f(v) = +

v s’appelle la variable de la fonction (on l’appelle plus souvent x).

Pour calculer l’image d’un nombre, on remplace la variable par ce nombre dans la formule :
f(90) = +
Tracer un graphique
A partir d’une formule, on peut fabriquer un tableau de valeurs et tracer une courbe.

Si la fonction g est définie par

g(x) = 0,3 x² – x + 3

on calcule des valeurs (on prend en général des nombres entiers pour plus de facilité, mais ce n'est pas obligatoire) :

x012345
y = g(x)32,32,22,73,85,5

on place les points correspondants :



puis on les relie :



Cette courbe s’appelle la représentation graphique de la fonction.

Il est important de bien distinguer les rôles des deux axes : antécédents sur l’axe des abscisses (horizontal), images sur l’axe des ordonnées (vertical).

Les fonctions linéaires
Ce sont celles qui traduisent une proportionnalité. On les a déjà abordées (sans utiliser le mot « fonction ») sous forme de tableaux en cinquième avec les coefficients de proportionnalité et graphiquement en quatrième.

masse de pommes en kg1,31,92,73,25,1x× 2,4
prix en €3,124,566,487,6812,24 2,4x

La fonction s’écrit : xf(x) = 2,4x

Plus généralement, les fonctions linéaires sont celles qui peuvent s’écrire sous la forme :

f(x) = ax

La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.

Pour connaître une fonction linéaire, il suffit de connaître un point de la droite, c'est-à-dire un nombre et son image par cette fonction.

« f est linéaire et f(4) = 7. Déterminer f. »



La fonction s’écrit f(x) = ax et le coefficient a est tel que
7 = a × 4 (7 est l’image de 4)
donc a =
La fonction f est définie par f(x) = x.

Les problèmes relatifs aux fonctions linéaires ne sont rien d’autre que des problèmes de proportionnalité. Seuls le vocabulaire et les notations sont différents.

Ainsi le problème ci-dessus est le même que :
« 4 kg de prunes coûtent 7 € et le prix est proportionnel à la quantité de prunes. Quel est le coefficient de proportionnalité ? »
ou que :
« 4 kg de prunes coûtent 7 €. Quel est le prix des prunes au kilo ? »

Les fonctions linéaires sont utilisées en particulier dans les problèmes de pourcentages.
Les fonctions affines
« Une cuve vide pèse 50 kg. On y verse du fioul. Un litre de fioul pèse 0,85 kg. Exprimer la masse totale f(x) de la cuve pleine en fonction du volume de fioul x (en litres) qu’on y a versé. »

f(x) = 50+ 0,85x
(masse de la cuve)(masse du fioul)

La fonction ainsi définie est une fonction affine : elle est de la forme
f(x) = ax + b

(dans l’exemple, a = 0,85 et b = 50)
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.





Le nombre 0,85 n'apparaît nulle part sur le graphique.

50 est l'ordonnée du point A, c'est-à-dire l'image de 0 par la fonction f (la masse quand il y a 0 litre de fuel).


Les fonction linéaires sont des fonctions affines particulières : le coefficient b est égal à 0.

Chercher l’image d’un nombre
  • avec un graphique :



    Le nombre 1 a pour image par la fonction f environ 2,1.

  • avec une formule de calcul :

    « Soit la fonction f définie par f(x) = 50 + 0,85x. Quelle est l’image de 200 par f ? »

    f(200) = 50 + 0,85 × 200 = 220

    L’image de 200 est 220.
Chercher des antécédents
  • avec un graphique :



    Le nombre 4 a trois antécédents par la fonction f : ils valent environ -2,4 ; -1,1 ; 3,6.

  • avec une formule de calcul :
    alors qu’un simple calcul suffit pour calculer l’image d’un nombre, trouver les antécédents d’un nombre par une fonction nécessite de résoudre une équation. C’est pourquoi on ne posera ce genre de question que pour des fonctions affines. Dans ce cas, chaque nombre a un seul antécédent.

    « Soit la fonction f définie par f(x) = 50 + 0,85x. Quel est l’antécédent de 67 par f ? »

    On cherche pour quelle valeur de x la formule de calcul donne comme résultat 67. L’équation à résoudre est donc :
    50 + 0,85x = 67
    La solution est 20.

    67 a un seul antécédent : 20.




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