les nombres




Les écritures fractionnaires font l'objet d'un chapitre spécifique.


en sixième
L'écriture décimale
la signification de l’écriture décimale des nombres a déjà été étudiée à l’école élémentaire, ainsi que l’écriture sous forme de fraction décimale :
32,4 = 3 dizaines + 2 unités + 4 dixièmes = 324 dixièmes =

Elle n'est pas toujours totalement acquise en début de sixième.

Si la partie entière (à gauche de la virgule) ne pose en général pas de difficulté, il n'en va pas de même pour la partie décimale (à droite de la virgule).


On peut utiliser les mesures de longueur qui sont familières aux élèves.
  • un millimètre, c'est un centimètre découpé en 10, c'est-à-dire un dixième de centimètre.

  • la longueur du trait noir est 3,4 cm ou 3 cm et 4 mm.

  • pour les centièmes on utilise la taille de l'enfant en mètres : s'il mesure 1,42 m, cela représente 1 m et 42 cm.
Les multiplications et les divisions par 10, 100, 1000
Il est important de relier cette écriture aux multiplications et aux divisions par 10, 100, 1000 :

32,4 × 100 = 3240
32,4 : 10 = 3,24

L’élève se contente souvent d’appliquer la règle « je décale la virgule » sans bien en comprendre la signification.



32,4 × 100 : si je multiplie un nombre par 100, les unités du nombre initial deviennent les centaines du résultat. Le 2 devient donc le chiffre des centaines, le 4 celui des dizaines et pour les unités il faut ajouter un 0, soit 3240.

3 dizaines + 2 unités + 4 dixièmes 32,4
3 milliers + 2 centaines + 4 dizaines 3240

Diviser 32,4 par 10, c’est chercher combien de fois 10 dans 32,4 autrement dit combien de dizaines. La réponse est 3 : c’est le chiffre des dizaines de 32,4 et il devient donc le chiffre des unités du résultat 3,24..

Ce type de calcul est particulièrement utile pour les conversions d’unités.

en cinquième
Les nombres relatifs
La nécessité d’utiliser des nombres négatifs peut être illustrée de plusieurs manières :
  • le solde d’un compte bancaire : si les entrées sont de 90€ et les sorties de 100€, le solde est donné par la soustraction 90 – 100. Cette opération est impossible avec les nombres connus jusqu’alors par l’enfant. Cette situation de « découvert » se traduit par le nombre (-10).
  • la mesure des températures : comment fait-on s’il fait plus froid que 0° ?
  • les ascenseurs : si 0 désigne le rez-de chaussée et (+1), (+2), (+3)… les étages, on désignera les sous-sols par (-1), (-2)…
Ces deux derniers exemples sont liés à la graduation complète d’une droite.

Les nombres (+4) et (-4) sont opposés.

L’écriture des nombres relatifs (ensemble des nombres positifs et négatifs) évolue au cours de l’année. Le nombre (+5) sera identifié au nombre 5 et (-2) s’écrira -2. Mais on écrira toujours (-2) s’il est précédé d’un signe d’opération.

Cette évolution peut amener des confusions entre les signes + et - des nombres et les signes + et – des opérations..


en quatrième
Les racines carrées
Cette écriture est introduite quand on utilise le théorème de Pythagore.

(racine carrée de 5) est le nombre positif dont le carré est égal à 5  :
()2 = × = 5

Ces nombres ne sont en général pas des nombres décimaux. On peut en donner des valeurs décimales approchées grâce aux calculettes ou les encadrer par des nombres entiers :

On sait que = 2 (car 2 × 2 = 4) et que = 3 (car 3 × 3 = 9).
Comme 5 est entre 4 et 9, est entre 2 et 3.

en quatrième / trosième
L'écriture scientifique
L’utilisation des puissances de 10 permet de nouvelles écritures des nombres décimaux ; c’est particulièrement utile pour les nombres très grands :
345000000 = 345 × 1000000 = 345 × 106 = 3,45 × 108

ou très petits :
0,00000008129 = 8129 × 0,0000000001 = 8129 × 10-10 = 8,129 × 10-7

Cette dernière écriture est l’écriture scientifique, avec le premier nombre compris entre 1 et 10.


On retrouve la méthode du « je décale la virgule » avec un risque d’erreur accru du fait de la taille des nombres.


Il vaut mieux privilégier le raisonnement :
pour résoudre 345 × 106 = 3,45 × 10? , on peut remarquer que 345 = 3,45 × 100.
Donc
345 × 106 = 3,45 × 100 × 106= 3,45 × 102 × 106 = 3,45 × 108




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