les nombres





Les notions de multiple et de diviseur sont étroitement liées :
« 12 = 3 fois un nombre entier » (12 = 3 × 4) se traduit par « 12 est un multiple de 3 » ou « 3 est un diviseur de 12 » ou « 12 est divisible par 3 ».

Le mot « diviseur » désigne aussi le deuxième nombre d’une division, que le résultat soit entier ou pas :
dans l’opération « 42 : 5 », 5 est le diviseur. Mais 5 n’est pas un diviseur de 42… Il faut bien distinguer ces deux significations différentes.

Critères de divisibilité
Les élèves apprennent les règles de divisibilité par 2, par 3, par 5, par 9, par 10.

Les règles pour 2, 5 et 10 sont faciles à expliquer : il suffit de regarder les derniers chiffres des résultats des tables de multiplication correspondantes.

Les règles pour 3 et 9 pourront être justifiées en quatrième :
  • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 :
    642 est divisible par 3 car 6 + 4 + 2 = 12 = 3 × 4
  • Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Problèmes de multiples communs
On aborde des problèmes où l’on cherche des multiples communs à deux nombres entiers :

« Je veux préparer des hot-dogs en enfilant une saucisse dans un petit pain. Les saucisses sont vendues par lots de 12 et les petits pains par lots de 9. Combien dois-je acheter au minimum de lots de chaque sorte pour pouvoir tout utiliser ? »

Le nombre de hot-dogs doit être à la fois un multiple de 12 et de 9.
On liste les multiples du plus grand des deux nombres (12) jusqu'à tomber sur un multiple du plus petit (9) :

12 × 2 = 24 qui n'est pas un multiple de 9.
12 × 3 = 36 = 4 × 9.

J'achèterai 3 lots de saucisses et 4 lots de petits pains.
Problèmes de diviseurs communs
On aborde des problèmes où l’on cherche des diviseurs communs à deux nombres entiers :

« Je dispose de 42 roses et 105 œillets pour faire des bouquets mixtes identiques. Combien de bouquets puis-je composer au maximum ? :»

Le nombre de bouquets doit être à la fois un diviseur de 42 (il y a le même nombre de roses dans chaque bouquet) et de 105 (idem pour les œillets).
On cherche les diviseurs de 42 (2, 3, 6, 7, 14, 28) et ceux de 105 (3, 5, 7, 15, 21, 35). On peut faire 3, 7 ou 21 bouquets.
Nombres premiers
Tous les nombres entiers sont divisibles par 1 et par eux-mêmes.
Un nombre entier est un nombre premier s'il n'a pas d'autre diviseur que ces deux-là.
7, 13, 19 sont des nombres premiers.

N'importe quel nombre entier est le résultat d'une multiplication de nombres premiers :
90 = 2 × 3 × 3 × 5
168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7

Ces décompositions permettent de trouver facilement les diviseurs communs aux deux nombres : ce sont 2, 3 et 2 × 3.




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