la résolution de problemes




Pour résoudre un problème, il faut d’abord trouver la bonne traduction mathématique de l’histoire que raconte l’énoncé.

Lorsqu'on fait travailler un enfant sur une résolution de problème, il est préférable qu'il utilise une calculette : cela lui permet de se concentrer sur le choix des opérations sans avoir à se soucier de leur difficulté éventuelle.

en sixième
L'addition et la soustraction
L’addition traduit souvent un « et » :

« Un autobus dispose de 23 places assises et de 31 places debout. Combien peut-il transporter de voyageurs ? »

Les élèves n’ont en général pas de difficulté pour passer à l’opération :
23 + 31 = 54
L’autobus peut transporter 54 voyageurs

Mais ce n’est pas toujours aussi simple :

« Emma mesure 134 cm. Elle fait 12 cm de moins que Cyrille. Combien mesure Cyrille ? »

Le mot « moins » dans l’énoncé peut amener à écrire par réflexe une soustraction : 134 – 12.

Or le bon résultat est bien donné par une addition : 134 + 12 = 146

Cyrille mesure 146 cm.

Plusieurs pistes sont possibles :
  • reformuler l’énoncé en se plaçant du point de vue du nombre à trouver :
    « si Emma mesure 12 cm de moins que Cyrille, Cyrille mesure 12 cm de plus qu’Emma. »

  • faire un schéma :


  • traduire littéralement l’énoncé par une soustraction à trou :
    ? – 12 = 134
    (en cinquième, on appellera ça une équation)

La soustraction peut traduire des verbes comme « enlever », « perdre »… mais sert aussi à calculer ce qui manque ou ce qui reste :

« J’ai 50 billes. 37 sont rouges et les autres bleues. Combien ai-je de billes bleues ? »

50 – 37 = 13

J’ai 13 billes bleues.

Ce genre de problème utilise en fait une soustraction pour résoudre une addition à trou :
37 + ? = 50


On voit sur ces exemples comment addition et soustraction sont étroitement liées.

La multiplication
La plupart des élèves reconnaissent facilement une multiplication par un nombre entier :

« J’achète 3 gâteaux à 2,10 € chacun, combien vais-je payer ? »

3 × 2,10 = 6,30

Je paierai 6,30 €

Ce calcul repose sur la vision de la multiplication comme une suite d’additions :
2,10 + 2,10 + 2,10 = 3 × 2,10.

C’est nettement plus difficile lorsqu’il faut multiplier par un nombre décimal car le modèle des additions successives ne marche plus :

« J’achète 3,4 kg de pommes à 2,10 € le kilo, combien vais-je payer ? »

L’opération à faire ne dépend pas des nombres mais seulement de la situation décrite par l’énoncé. Un bon moyen de ne pas se laisser dominer par les nombres est de raisonner d’abord le problème avec des mots :

« Si je connais le prix d’un kilo et le nombre de kilos, quelle opération dois-je faire pour trouver le prix total ? »
Que le nombre de kilos soit entier ou pas ne change pas la réponse à cette question : une multiplication.
3,4 × 2,10 = 7,14

Le prix sera donc 7,14 €.
La division
La maîtrise de l’utilisation de la division est très importante. Elle est souvent difficile à acquérir.

Les enfants n’ont souvent comme image de la division que celle d’un partage. Or, comme la soustraction, la division a de multiples utilisations.


Pour bien maîtriser les problèmes de division, il faut avoir compris que la division est l’opération « contraire » de la multiplication (comme la soustraction est l’opération « contraire » de l’addition).

Calculer 42 divisé par 7, c'est poser la question :
« dans 42 combien de fois 7 ? »
  • Les problèmes de partage sont les plus faciles. Ils diffèrent selon que le résultat cherché correspond à une grandeur entière ou pas.

    • « Je découpe une planche de 110 cm en 8 morceaux de même longueur. Combien mesurera chaque morceau ? »

      110 : 8 = 13,75

      Chaque morceau mesurera 13,75 cm.
Si l'élève a des difficultés avec un problème de ce genre, on peut lui faire reprendre le raisonnement dans l'autre sens : « Si je mets bout-à-bout 8 morceaux de même longueur, comment calculer la longueur totale ? »
On fait ainsi le lien entre multiplication et division.

    • « Je distribue équitablement 110 billes à 8 enfants. Combien chacun en aura-t-il ? »

      Le nombre de billes est un nombre entier donc le calcul précédent ne marche pas.
      Il faut effectuer une division avec reste.

      110 = 8 × 13 + 6

      Chaque enfant recevra 13 billes et il en restera 6.
  • Les problèmes qui font intervenir d'autres significations de la division sont plus difficiles :

    « J’achète des pommes à 2 € le kilo. Quelle quantité en aurai-je pour 7,14 € ? »

    On commence par raisonner avec des mots :
    « Je sais calculer le prix total en multipliant le prix d’un kilo par le nombre de kilos. »
    On traduit alors le problème par :
    ? × 2 = 7,14
    c’est-à-dire : « combien de fois 2 font 7,14 ? ».

    On reconnaît la définition de la division de 7,14 par 2.

    7,14 : 2 = 3,07

    J’ai acheté 3,07 kg de pommes.

Les élèves ont aussi du mal à concevoir de diviser un nombre par un nombre plus grand.

  • Si après le problème précédent on pose celui-ci :

    « J’achète des champignons à 3,20 € le kilo. Quelle quantité en aurai-je pour 2 € ? »,

    il arrive fréquemment que l’élève fasse l’opération 3,20 : 2. Il a identifié un problème qui se traduit par une division et divise le nombre le plus grand par le nombre le plus petit (ici ce nombre est de plus entier, ce qui renforce le phénomène).

Il faut raisonner d’abord le problème avec des mots : je divise le prix total par le prix au kilo.

2 : 3,20 = 0,625

J’aurai 0,625 kg de champignons.


en sixième
en cinquième
Enchaîner les opérations
Certains problèmes nécessitent l’enchaînement de plusieurs opérations :

« J’achète deux pains à 1,30 € et 3 baguettes à 0,90 €. Je paie avec un billet de 10 €. Combien la caissière me rend-elle ? »

Il faut d’abord identifier les étapes du calcul. Cela se fait souvent en commençant par la fin : la première étape du raisonnement correspond à la dernière opération que l’on effectuera (pour donner la réponse à la question posée) et c’est à la fin du raisonnement qu’interviennent les nombres donnés en premier dans l’énoncé.

  • pour savoir combien on me rend, il faut calculer la somme totale que je dois et la soustraire de ce que j’ai donné,
  • pour connaître la somme totale, il faut additionner le prix des pains et le prix des baguettes,
  • pour obtenir le prix des pains, il faut multiplier le prix d’un pain par le nombre de pains (de même pour les baguettes).
On peut alors écrire les calculs
  • soit étape par étape :
    prix des pains : 2 × 1,30 = 2,60
    prix des baguettes : 3 × 0,90 = 2,70
    prix total : 2,60 + 2,70 = 5,30
    monnaie rendue : 10 – 5,30 = 4,70
  • soit en ligne :
    10 – (2 × 1,30 + 3 × 0,90) = 4,70
La caissière me rend 4,70 €.




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