la résolution de problemes




Pour résoudre un problème, il faut d’abord trouver la bonne traduction mathématique de l’histoire que raconte l’énoncé.

Ce chapitre n'aborde que l'écriture des équations et non leur résolution.

en cinquième
en quatrième

Lorsqu’un problème est trop complexe pour être résolu grâce à un enchaînement simple d’opérations, on donne un nom à la grandeur que l’on cherche : c’est l’inconnue, en général appelée x.
On traduit alors l’énoncé par une égalité qui fait intervenir cette grandeur : une équation

« Charlotte et Emeline ont reçu chacune un billet pour leur anniversaire. Elles vont à la librairie acheter des livres de leur collection préférée (ils sont tous au même prix). Emeline en voudrait 7 mais la caissière lui dit : il te manque 3,20 € ! Charlotte en prend 5 et la caissière lui rend 12 €.Quel est le prix d’un livre ? »

Les élèves sont souvent trop pressés et se lancent tout de suite dans des calculs.



Il faut d’abord se contenter de traduire l’énoncé en langage mathématique sans chercher à calculer la solution.


Dans ce problème, x désigne le prix d’un livre.
Une équation est avant tout une égalité. Il faut donc identifier des grandeurs égales dans l’histoire, ici la somme dont dispose chacune des filles.

Emeline veut 7 livres, soit un prix total 7 × x. Il lui manque 3,20 €, elle n’a donc que (7 × x) – 3,20.

Charlotte achète 5 livres, qui lui coûtent donc 5 × x. Comme on lui rend 12 €, c’est qu’elle a donné un billet de (5 × x) + 12.

On obtient l’équation : (7 × x) – 3,20 = (5 × x) + 12

Le prix d’un livre est 7,60 € (la résolution de léquation est ici)

Les problèmes d'âge
« Sylvie a 46 ans et sa fille Typhaine 10 ans. Dans combien d’années l’âge de Sylvie sera-il le double de celui de Typhaine ? »
On choisit comme inconnue x le nombre d’années à attendre.

La difficulté de ce type de problème est d’identifier clairement les grandeurs qui entrent en jeu car elles changent avec le temps.


On cherche à écrire une équation qui traduise : « l’âge de Sylvie sera le double de l’âge de Typhaine ». Mais de quel âge s’agit-il ? A quel moment ?


Il faut toujours préciser : c’est l’âge d’une personne à un moment donné.


Les âges de Sylvie et Typhaine dans x années seront (46 + x) et (10 + x).

On peut présenter cette évolution sous forme de tableau :

aujourd'huidans x années
Sylvie4646 + x
Typhaine1010 + x

« l’âge de Sylvie sera le double de l’âge de Typhaine » se traduit alors par :
46 + x = 2 × (10 + x)

Ce sera dans 26 ans (la résolution de l'équation est ici).
Les problèmes avec des « si »
On retrouve le même genre de raisonnement dans les problèmes avec des « si » :

« Louis dit à Quentin : J’ai deux fois plus de billes que toi. Si tu m’en donnes 5, j’en aurai trois fois plus que toi ! Combien de billes possède chaque enfant au départ ? »


Il faut distinguer le nombre de billes que possède chacun avant la transaction et après la transaction.


Si x désigne le nombre de billes que Louis possède au départ, il en aura x + 5 à l’arrivée.
Quentin a x : 2 billes au départ et (x : 2) – 5 à l’arrivée.

On peut présenter cette évolution sous forme de tableau :

avantaprès
Sylviexx + 5
Typhainex : 2(x : 2) - 5

« J’en aurai 3 fois plus que toi » se traduit alors par :
x + 5 = 3 × ((x : 2) – 5)

Louis a 40 billes.





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