la proportionnalité



Les premières situations proposées aux élèves sont issues de la vie quotidienne :

« Si 4 kilos de pommes coûtent 10 €, combien coûtent 12 kilos de ces mêmes pommes ? »


Il faut d’abord noter que dans cet énoncé la proportionnalité entre la masse et le prix des pommes est sous-entendue.

Il est important que l’élève se pose la question avant de se lancer dans le calcul : « est-ce une situation de proportionnalité ? »

Cette question abstraite doit bien sûr être traduite de façon plus concrète : si j’achète deux fois plus de pommes, est-ce que je paierai deux fois plus cher ?.


Il faut pour cela qu’il ait eu l’occasion de voir des situations où des grandeurs ne sont pas proportionnelles :
  • l’âge et la taille d’un enfant : si un enfant de 10 ans mesure 1,40 m, il ne mesurera pas 2,80 m à 20 ans !
  • le côté et l’aire d’un carré : si on double le côté, l’aire est 4 fois plus grande.


en sixième

Deux méthodes sont proposées pour résoudre le problème des pommes :

« Si 4 kilos de pommes coûtent 10 €, combien coûtent 12 kilos de ces mêmes pommes ? »
  1. il y a 3 fois plus de pommes (12 = 4 × 3), donc le prix est multiplié par 3 : 10 × 3 = 30 €.

  2. 1 kilo coûte 10 : 4 = 2,5 € ; 12 kilos coûtent 12 × 2,5 = 30 €.
La méthode a qui semble plus simple, n’est pas toujours pratique (ça marche bien ici parce que 12 est un multiple évident de 4).

La méthode b est plus générale (passage à l’unité ou « règle de trois »). Elle suppose une bonne compréhension de la division, ce qui n’est pas toujours évident en sixième.

en cinquième

Les méthodes vues en sixième sont systématiquement associées à l’utilisation de tableaux de proportionnalité :

× 3
kilos412
1010 × 3

ou

kilos4112× 2,5
1010 : 4 = 2,512 × 2,5

Le nombre 2,5 est le coefficient de proportionnalité du tableau.

en quatrième

On utilise le produit en croix :

est un tableau de proportionnalité si 4 × X = 12 × 10, soit X =

Cet outil permet une résolution rapide des problèmes.

Il a l’inconvénient de masquer le raisonnement : le nombre 12 × 10 ne représente rien dans le problème. Deux types d’erreurs peuvent alors se produire : soit utiliser cette technique à tort (pas de proportionnalité), soit mal positionner les nombres dans le tableau.


Il est alors d’autant plus important de se poser les bonnes questions :
quelles sont les grandeurs proportionnelles ? quelles valeurs se correspondent ?


« Pour peindre un mur en orange, un peintre mélange 36 L de peinture blanche, 4 L de peinture jaune et 8 L de peinture rouge. Il lui manque 12 L de ce mélange pour terminer son travail.
Calculer les volumes de peinture blanche, jaune et rouge qu'il doit prévoir pour l'achever. »


Le volume de chaque type de peinture est proportionnel au volume total du mélange.
Il faut commencer par calculer ce volume : 36 + 4 + 8 = 48 L.
On a donc au départ 36 L de peinture blanche pour 48 L de mélange :

peinture blanche (L)36?
mélange (L)4812

Le volume de peinture blanche nécessaire est donc = 9 L.

Il y a une solution plus rapide si on remarque que 12 est le quart de 48 : il suffit de diviser 36 par 4.
On trouve de la même façon les volumes de peinture jaune (1 L) et bleue (2 L).


Il faut également faire attention aux unités utilisées. Il peut être nécessaire de procéder d’abord à une conversion d’unités.




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