la proportionnalité



C’est probablement la notion mathématique la plus utilisée dans la vie quotidienne. Elle est donc particulièrement importante.

« Il y a 30 élèves dans la classe, 24 ont réussi l’examen : le taux de réussite est de 80 % (80 pour cent).»

Un taux de 80 % signifie que si la classe comptait 100 élèves, 80 auraient réussi et que le nombre de réussites est proportionnel au nombre total d’élèves :

nombre de réussites8024
nombre d'élèves10030


Les élèves apprennent souvent par cœur des formules de calcul sans forcément bien comprendre ce qu’elles signifient.



Dans tous les cas, le travail sur un pourcentage peut se schématiser par un tableau de proportionnalité.


« la grandeur a représente X % de la grandeur b » se traduit par le tableau :

Xa
100b

en sixième
Appliquer un pourcentage
Cet apprentissage se fait en lien avec les fractions, qui sont une des écritures possibles de la proportionnalité :

« 80 % de 30 » est égal à × 30 = 24

On énonce souvent la règle sous la forme : « je multiplie par 80 et je divise par 100 ». Or faire les opérations dans cet ordre, c’est utiliser la technique du produit en croix que les élèves n’apprendront qu’en 4e !


Les élèves doivent connaître les équivalences entre « 50 % » et « la moitié » ainsi qu’entre « 25 % » et « le quart ».

en cinquième
Calculer un pourcentage
On s’appuie sur la lecture d’une fraction comme une proportion

Ainsi « 24 élèves sur 30 ont réussi » signifie que la proportion de réussite est de .

Il faut alors trouver la fraction de dénominateur 100 qui lui est égale :
=
ce qui revient à compléter le tableau de proportionnalité :

?24
10030

Dans cet exemple le plus simple est de calculer = 0,8 = =


On remarque que les formulations : « 24 élèves sur 30 » et « 80 pour 100 », bien que différentes, se traduisent toutes deux par des fractions et que ces fractions sont égales.


Ces calculs sont utilisés, entre autres, pour déterminer les fréquences d’une série statistique.

en troisième
Variations en pourcentage
« Une chemise était vendue 30 €, elle a augmenté de 10 %. Quel est son nouveau prix ? »

La méthode la plus intuitive consiste à calculer 10 % de 30 € (le montant de l’augmentation) puis à ajouter le résultat au prix initial :
10 % de 30 = × 30 = 3
30 + 3 = 33
Le nouveau prix est de 33 €.

Mais cette méthode ne permet pas de résoudre le problème inverse, la recherche du prix de départ :

« Un pantalon, soldé à -30 %, est vendu 28 €. Combien valait-il avant les soldes ? »

Une erreur habituelle consiste à calculer 30 % de 28 € et à l’ajouter au prix initial.


Un bon réflexe dans les problèmes de pourcentage consiste à poser systématiquement la question :
« un pourcentage de quelle grandeur ? »


Ici les 30 % ne portent pas sur le prix connu (28 €) mais sur le prix initial qu’on ne connaît pas. On ne peut donc pas calculer le montant de la réduction. On sait en revanche que si le prix initial était de 100 €, le nouveau prix serait de 70 €.
(100 – 30 = 70)

On peut donc dresser le tableau de proportionnalité :

nouveau prix7028
ancien prix100?

L’ancien prix est donc : = 40 €
Cette méthode fonctionne aussi sur le premier exemple. Dans ce cas le nouveau prix représente 110 % de l’ancien (100 + 10 = 110) :

nouveau prix110?
ancien prix10030

Le nouveau prix est : = 33 €
Le programme n’indique pas explicitement cette méthode, du moins pas sous cette forme. Il vise plutôt l’utilisation d’une fonction linéaire.
  • augmenter un nombre x de 10 % revient à le mutiplier par = 1,10, ce qui correspond à la fonction f définie par f(x) = 1,10 × x. On trouve le nouveau prix de la chemise en calculant f(30).
  • diminuer un nombre x de 30 % revient à le multiplier par = 0,70, ce qui correspond à la fonction g définie par g(x) = 0,70 × x. On trouve l’ancien prix du pantalon en résolvant l’équation : g(x) = 28.




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