les solides et leur représentation





Le vocabulaire
Un solide peut comporter :
  • des faces
    (ce sont des surfaces)

  • des arêtes
    (ce sont des segments)

  • des sommets
    (ce sont des points)

La perspective cavalière

La représentation sur une surface plane (feuille, tableau, écran) d’un solide à trois dimensions n’a rien d’évident.




Les représentations auxquelles les enfants sont le plus habitués sont les photographies ou les images « 3d ». Mais ce type de représentation n’est pas très adapté aux mathématiques car aucune des propriétés géométriques de l’objet n’est conservée à part l’alignement : ni les angles, ni les égalités de longueur, ni le parallélisme…

C’est pourquoi on utilise un procédé qui permet d’en conserver un certain nombre : la perspective cavalière.

Les règles sont les suivantes :
  • deux segments parallèles restent parallèles.

  • deux segments parallèles de même longueur gardent la même longueur
    (et donc les milieux restent au milieu)
En revanche seuls les angles et les dimensions dans un seul plan (le plan qu’on regarde « de face ») peuvent être conservés.

« Représenter en perspective cavalière un cube de côté 4 cm. »
  • on trace une face du cube en vraie grandeur (la face « avant » ABCD)

  • les arêtes [AE], [BF], [CG] et [DH] du cube sont parallèles et de même longueur. Leurs représentations le seront donc aussi.
  • il faut leur choisir une longueur commune : on prend en général entre la moitié et les deux tiers de la longueur réelle.
  • il faut leur choisir une direction commune : on prend en général un angle de 30° environ par rapport à l’horizontale.



Les équerres ont en général un angle de 30°, ça peut être pratique pour faire la construction.


  • l’arête [AE] est « cachée » par la face ABCD : on la trace en pointillés.
  • on complète la figure avec les arêtes de la face « arrière »


Le codage de la figure est le seul moyen d’y indiquer des informations lisibles et fiables.




La capacité à bien se représenter un solide à partir d’un dessin est très variable d’une personne à l’autre et sans lien avec les compétences mathématiques.


Les patrons
Un patron d’un solide est une figure plane d’un seul tenant qui permet, par pliage, de fabriquer le solide.

  • Exemple de patron d’un cube de côté 3 cm :



    On le plie pour former le cube :


Pour un solide donné, il y a plusieurs patrons possibles.

  • Exemple d’un autre patron pour le cube :


Pour dessiner un patron d’un solide, on part d’une face et on construit une à une les faces qui ont une arête commune.

« Construire le patron de cette pyramide à base rectangulaire. »


  • on commence par le rectangle ABCD :

  • puis les triangles rectangles ABE et ADE dont on connaît les dimensions (il y a plusieurs dispositions possibles) :



Une des difficultés de ce travail est de comprendre qu’un même sommet peut apparaître plusieurs fois sur le patron. Cela correspond à des segments qui se colleront ensemble.


Pour continuer, il faut d’abord voir que les triangles BCE et DCE sont rectangles. En effet si on pose la pyramide sur la face ABE, [BC] sera vertical :
  • est un angle droit
    (de même est un angle droit).

  • on peut alors construire EBC et ECD :





Ce site est conçu et réalisé par Jean-Pierre Brelle professeur certifié de mathématiques. N'hésitez pas à lui faire part de vos remarques ici.