les solides et leur représentation





Les calculs d'aire et de volume, ainsi que le repérage sont traités dans d'autres chapitres.

en sixième
Le parallélépipède rectangle
Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide à 6 faces rectangulaires.

Ses faces opposées sont deux à deux parallèles et superposables.
BCGF et ADHE sont deux faces opposées.

Un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés est un cube.

en cinquième
Le prisme droit
Un prisme droit est un solide dont
  • deux faces sont des polygones parallèles et superposables : ce sont les bases.

  • les autres faces sont des rectangles perpendicuaires aux bases.

Exemple de prisme droit à base triangulaire :
Les faces ABC et DEF sont les bases du prisme.

Les longueurs AD, BE et CF sont égales : elles sont égales à la hauteur du prisme.
Un patron possible :

Le cylindre
Un cylindre de révolution est un solide dont
  • deux faces sont des disques parallèles et superposables : ce sont les bases.

  • le segment qui joint les centres des bases est perpendicuaire aux bases.
    La longueur de ce segment est la hauteur du cylindre.

Le mot « révolution » n’a ici rien de politique. En physique il désigne le fait de faire un tour complet (comme la terre autour du soleil).

Il s’explique par le fait qu’on obtient un cylindre en faisant tourner un rectangle autour d’un de ses côtés (l’axe du cylindre) :

Les positions successives du côté oposé à l’axe forment une surface courbe (en rose). On l’appelle la surface latérale du cylindre.
En perspective cavalière, les bases du cylindre sont représentées par des ellipses.


Le terme « ellipse » n'est pas au programme et seul un tracé approximatif est demandé aux élèves.


Le
patron d’un cylindre est composé d’un rectangle et de deux disques de part et d’autre du rectangle.
Le rectangle a pour largeur la hauteur h du cylindre et pour longueur la circonférence de la base, soit π × diamètre.

  • Si le diamètre mesure 4 et la hauteur mesure 6, la longueur du rectangle sera π × 4 soit environ 12,6.

    Le nombre pi (π) n'est pas un nombre décimal. Il vaut à peu près 3,14.

L’emplacement des deux disques sur les côtés du rectangle n’a aucune importance.



en quatrième
La pyramide
Une pyramide est un solide dont
  • une face est un polygone. Cest la base.

  • les autres faces sont des triangles ayant un sommet commun. Ce point est le sommet de la pyramide.
    ABCDE est la base, F est le sommet.

    Le point H appartient à la base et le segment [FH] est perpendiculaire à la base : c'est la hauteur de la pyramide

Dans la représentation ci-dessus – qui est la plus répandue – le plan de base est « horizontal » et aucune face n’est représentée en vraie grandeur.
Les cônes
Une cône de révolution est un solide constitué par :
  • un disque : cest la base du cône.

  • un point situé à la verticale du centre de la base : c'est le sommet du cône.

  • une surface courbe formée de tous les segments qui joignent le sommet aux points du cercle de base : c’est la surface latérale du cône.

Le mot « révolution » n’a ici rien de politique. En physique il désigne le fait de faire un tour complet (comme la terre autour du soleil).

Il s’explique par le fait qu’on obtient un cône en faisant tourner un triangle rectangle autour d’un de ses côtés (l’axe du cône).

Le segment [SH] qui joint le sommet au centre de la base est la hauteur du cône.


En perspective cavalière, la base du cône est représentée par une ellipse.


Le terme « ellipse » n'est pas au programme et seul un tracé approximatif est demandé aux élèves.


Le
patron d’un cône est formé d’un disque (la base) et d’un secteur ciculaire (la surface latérale).
Le rayon du secteur circulaire est égal à la longueur SA.


La connaissance de l’angle en S nécessite un calcul assez complexe.

Prenons un diamètre de base de 4 cm et une longueur AS de 5 cm.
  • les deux points A doivent se superposer au pliage donc la longueur de l’arc de cercle doit être égale à la circonférence de la base : π × 4 soit environ 12,6 cm.

  • le cercle de centre S a un rayon de 5. La circonférence du cercle complet mesure π × 10 soit environ 31,4 cm

  • on effectue ensuite un calcul de proportionnalité :

    Pour le cercle complet (31,4 cm), l’angle mesurerait 360 degrés. Quel sera l'angle pour un arc de longueur de 12,6 cm ?

    longueur (cm)31,412,6
    angle (degrés)360?

    La mesure de l’angle est donc soit environ 144 degrés.

Si le but est simplement de fabriquer le cône, on peut tracer un secteur circulaire un peu plus grand. Les deux extrémités viendront alors se chevaucher lors du pliage.


en troisième
La sphère
Une sphère est une surface courbe formée de tous les points de l’espace situés à une même distance du centre.

Cette distance est le rayon de la sphère.
Pour donner l’impression de volume, on représente un grand cercle de la sphère (comme l’équateur sur la sphère terrestre) sous la forme d’une ellipse (en rouge).

Les points C et E sont diamétralement opposés.




Ce site est conçu et réalisé par Jean-Pierre Brelle professeur certifié de mathématiques. N'hésitez pas à lui faire part de vos remarques ici.